Question

Определить частное решение линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, удовлетворяющее заданным начальным условиям: y" -2y'+5y = 0 y(0) = -1 y'(0) = -1

Answer 1

Р^2-2р+5=0
р=1+-2i
общее решение
y=е^x(C1*cos2x+C2*sin2x)
y(0)=-1
C1=-1
y'(0)=-1
2C2=-1
C2=-0.5
ответ
у=е^x(-соs 2x - 0.5*sin 2x)

Answer 2

Для нахождения частного решения линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и начальными условиями, следует следовать следующим шагам:

1. Найдите характеристическое уравнение, связанное с данной дифференциальной уравнением:

   Характеристическое уравнение для данного уравнения: r^2 - 2r + 5 = 0.

2. Решите характеристическое уравнение, чтобы найти его корни (собственные значения):

   Используя квадратное уравнение или формулу корней, можно найти, что корни уравнения r^2 - 2r + 5 = 0 являются комплексными числами: r = 1 ± 2i.

3. Следовательно, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

   y(t) = e^(1t) * (A * cos(2t) + B * sin(2t)).

4. Теперь, подставив начальные условия y(0) = -1 и y'(0) = -1 в общее решение, можно найти коэффициенты A и B:

   При t = 0: y(0) = A * cos(0) + B * sin(0) = A = -1.

   y'(t) = e^(t) * (A * cos(2t) + B * sin(2t)) + e^(t) * (-2A * sin(2t) + 2B * cos(2t)). При t = 0: y'(0) = A + 2B = -1.

   Решая систему уравнений: A = -1 A + 2B = -1 Получаем, что B = 0.

Таким образом, частное решение, удовлетворяющее начальным условиям y(0) = -1 и y'(0) = -1, имеет вид:

y(t) = e^(t) * (-1 * cos(2t)) = -e^(t) * cos(2t).