Question

Точкой максимума функции f(х) = 16х3 + 81х2 – 21х – 2 является…

Answer 1

Решение задания прилагаю

Answer 2

Чтобы найти точку максимума функции $f(x) = 16x^3 + 81x^2 - 21x - 2$, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдите производную функции $f(x)$. Производная функции покажет нам, где находятся экстремумы (минимумы и максимумы).

$f'(x) = 48x^2 + 162x - 21$

2. Решите уравнение $f'(x) = 0$, чтобы найти значения $x$, где производная равна нулю. Эти точки будут кандидатами на максимум или минимум.

$48x^2 + 162x - 21 = 0$

3. Решите это квадратное уравнение для $x$. Вы можете использовать квадратное уравнение или другие методы, такие как метод дискриминанта, чтобы найти корни.

Получим два значения для $x$:

$x_1 \approx -0.795$ и $x_2 \approx 0.456$

4. Теперь, чтобы определить, является ли каждая из этих точек максимумом или минимумом, вам нужно проанализировать вторую производную $f''(x)$ вокруг этих точек.

$f''(x) = 96x + 162$

5. Вычислите $f''(x)$ для каждой из найденных точек $x_1$ и $x_2$:

Для $x_1$:

$f''(x_1) = 96(-0.795) + 162 \approx -68.02$

Для $x_2$:

$f''(x_2) = 96(0.456) + 162 \approx 202.68$

6. Если $f''(x_1) < 0$, то точка $x_1$ является максимумом. Если $f''(x_2) < 0$, то точка $x_2$ является максимумом.

Итак, точкой максимума функции $f(x)$ является $x_1 \approx -0.795$. Для нахождения соответствующего значения $y$ вычислите $f(x_1)$:

$f(x_1) = 16(-0.795)^3 + 81(-0.795)^2 - 21(-0.795) - 2 \approx -10.07$

Таким образом, точка максимума функции $f(x)$ имеет координаты $(-0.795, -10.07)$.