Question

Помогите пожалуйста Доведіть, що при всіх значеннях змінних є правильноюнерівність а²b² + a² + b² +1 ≥ 4ab.​

Answer 1

Всегда верно неравенство:

(a-1)^2>=0

a^2-2a+1>=0

1. a^2+1>=2a

Аналогично:

2. b^2+1>=2b

Переумножим неравенства 1 и 2:

(a^2+1)(b^2+1)>=2a*2b

(a^2+1)(b^2+1)>=4ab

a^2b^2 +a^2 +b^2 +1 >=4ab

Что и требовалось доказать.

Answer 2

Для доведення нерівності a²b² + a² + b² + 1 ≥ 4ab, давайте розглянемо наступний спосіб:

1. Розглянемо вираз (a - b)². Застосуємо формулу різниці квадратів:

   (a - b)² = a² - 2ab + b²

2. Тепер додамо 2ab до обидвох сторін нерівності:

   a² - 2ab + b² + 2ab ≥ 4ab

3. Зараз можемо спростити вираз a² - 2ab + b² + 2ab:

   a² + b² ≥ 4ab

4. Також ми можемо додати 1 до обидвох сторін нерівності:

   a² + b² + 1 ≥ 4ab

Отже, ми довели, що при всіх значеннях змінних a і b нерівність a²b² + a² + b² + 1 ≥ 4ab є правильною.