Question

Вычислите работу за промежуток времени [1;2], если мощность вычисляется по формуле N(t) = 2t+4t^3​

Answer 1

Работа A за промежуток времени от t₁ до t₂, если задан закон изменения мощности N(t), вычисляется по формуле:

$\displaystyle A=\int\limits^{t_2}_{t_1} N(t), dt$

тогда:

$\displaystyle A=\int\limits^2_1 (2t+4t^3)dt=(2*\frac{t^2}{2}+4\frac{t^4}{4})\bigg|^2_1=(t^2+t^4)\bigg|^2_1=(2^2+2^4)-(1^2+1^4)=\\\\= 4+16-2=18$

Answer 2

Для вычисления работы $W$ за промежуток времени $[1, 2]$ по формуле мощности $N(t) = 2t + 4t^3$ необходимо проинтегрировать $N(t)$ по времени $t$ на данном интервале и получить $W$. Работа определяется как интеграл мощности по времени:

$W = \int_{1}^{2} N(t) \, dt$

Подставим выражение для мощности $N(t)$:

$W = \int_{1}^{2} (2t + 4t^3) \, dt$

Теперь проинтегрируем это выражение:

$W = \left[\int (2t + 4t^3) \, dt\right]_{1}^{2}$

$W = \left[t^2 + \frac{4}{4}t^4\right]_{1}^{2}$

Вычислим значения в пределах от 1 до 2:

$W = \left[(2^2 + \frac{4}{4} \times 2^4) - (1^2 + \frac{4}{4} \times 1^4)\right]$

$W = \left[(4 + 8) - (1 + 1)\right]$

$W = 10 - 2 = 8$