Question

Знайдіть площу фігури обмеженої лініями y=x^2-2x+5, y=x+3

Answer 1

Решение приложено к снимку:

Answer 2

Щоб знайти площу фігури, обмеженої лініями y = x^2 - 2x + 5 і y = x + 3, спершу знайдемо точки їх перетину, а потім обчислимо інтеграл від різниці цих функцій за відповідними межами.

Спочатку знайдемо точки перетину:

1. Поставте y = x^2 - 2x + 5 рівним x + 3: x^2 - 2x + 5 = x + 3.

2. Перенесіть x і 3 на лівий бік, отримаємо: x^2 - 2x - x + 5 - 3 = 0.

3. Скоротьте та спростіть це рівняння: x^2 - 3x + 2 = 0.

4. Розкладемо квадратний тричлен на множники: (x - 2)(x - 1) = 0.

5. Знайдемо значення x, при яких це рівняння рівне нулю: x = 2 і x = 1.

Отже, точки перетину цих ліній - це (1, 4) і (2, 5).

Тепер ми можемо знайти площу фігури, обмеженої цими лініями, використовуючи інтеграл:

Площа = ∫[a, b] (f(x) - g(x)) dx, де a і b - це значення x, відповідно, 1 і 2; f(x) - це верхня лінія (y = x^2 - 2x + 5), а g(x) - нижня лінія (y = x + 3).

Площа = ∫[1, 2] ((x^2 - 2x + 5) - (x + 3)) dx.

Тепер обчислимо цей інтеграл: Площа = ∫[1, 2] (x^2 - 2x - x^2 + 2x + 5 - 3) dx. Площа = ∫[1, 2] (2) dx.

Тепер інтегруємо це вираз: Площа = 2x |[1, 2]. Площа = 2(2) - 2(1). Площа = 4 - 2. Площа = 2 квадратних одиниці.

Отже, площа фігури, обмеженої лініями y = x^2 - 2x + 5 і y = x + 3, дорівнює 2 квадратним одиницям.