Question

Написать уравнение касательной к графику функции в точке с абциссой x₀: y = x^3 - x, x₀ = 2

Answer 1

Объяснение:

$y=x^3-x\ \ \ \ x_0=2\ \ \ \ y_k=?\\y_k=y(x_0)+y'(x_0)*(x-x_0)\\y(2)=2^3-2=8-2=6.\\y'(x_0)=(x^3-x)'=3x^2-1.\ \ \ \ \\y'(2)=3*2^2-1=12-1=11.\ \ \ \ \Rightarrow\\y_k=6+11*(x-2)=6+11x-22=11x-16.$

Ответ:y=11x-16.

Answer 2

Чтобы найти уравнение касательной к графику функции $y = x^3 - x$ в точке с абсциссой $x_0 = 2$, нам нужно найти производную функции и подставить значение $x_0$, чтобы найти угловой коэффициент (производную) касательной. Затем, используя уравнение прямой вида $y = mx + b$, где $m$ - угловой коэффициент (производная), подставим $x_0$ и найдем значение $b$.

1. Найдем производную функции $y = x^3 - x$: $y' = 3x^2 - 1.$

2. Найдем угловой коэффициент (производную) в точке $x_0 = 2$: $y'(2) = 3(2)^2 - 1 = 11.$

Таким образом, угловой коэффициент касательной в точке $(2, f(2))$ равен 11.

3. Найдем значение $f(2)$: $f(2) = 2^3 - 2 = 6.$

Теперь у нас есть угловой коэффициент ($m = 11$) и точка $(2, 6)$, которую касательная проходит.

4. Подставим значения в уравнение прямой $y = mx + b$ и найдем $b$: $6 = 11(2) + b.$ $6 = 22 + b.$ $b = -16.$

Таким образом, уравнение касательной к графику функции $y = x^3 - x$ в точке $(2, 6)$ имеет вид: $y = 11x - 16.$