Question

Помогите решить, с подробным объяснением: 3ˣ²⁻⁴ˣ< 3²⁽ˣ²⁻¹⁵⁾

Answer 1

В правой части уравнения степень "2 * (x² - 15)" расписываем:

$3^{x^{2} -4x} < 3^{2x^{2}-30}$

Степени одинаковые и больше единицы, их опускаем без изменения знака:

x² - 4x < 2x² - 30

x² + 4x - 30 > 0

Решаем квадратное уравнение:

D = b² - 4ac = 16 - 4 * (-30) = 136

Выделим целую часть из корня:

√136 = √2² * √34 = 2√34

$x_{1} = \dfrac{-4+2\sqrt{34} }{2} = -2 + \sqrt{34} \\ \\ x_{2} = \dfrac{-4-2\sqrt{34} }{2} = -2 - \sqrt{34}$

Степени все нечётные (равны 1 в данном случае), минуса никакого перед скобками нет, значит, справа ставим знак "+", а потом чередуем знаки.

(x + 2-√34)(x+2+√34) > 0

Нас волнует только положительные значения, поэтому выбираем промежутки с плюсом.

Ответ: x ∈ (-∞; -2-√34) ∪ (-2+√34; +∞)

Answer 2

Для решения данного неравенства, давайте разберемся с каждой его частью.

Исходное неравенство:

$3^{x^2 - 4x} < 3^{2(x^2 - 15)}$

Сначала упростим обе стороны неравенства, используя свойство экспонент:

$x^2 - 4x < 2x^2 - 30$

Теперь приведем все члены неравенства в одну сторону, чтобы решить квадратное уравнение:

$0 < x^2 - 2x - 30$

Решим квадратное уравнение:

$x^2 - 2x - 30 = 0$

Для нахождения корней квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ можно использовать формулу дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$. Если дискриминант положителен ($D > 0$), то у уравнения два различных вещественных корня.

В данном случае, коэффициенты уравнения $a = 1$, $b = -2$, и $c = -30$. Рассчитаем дискриминант:

$D = (-2)^2 - 4(1)(-30) = 124$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных вещественных корня. Решим уравнение, используя квадратное уравнение:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

Подставим значения:

$x = \frac{2 \pm \sqrt{124}}{2}$ $x = \frac{2 \pm 2\sqrt{31}}{2}$

Таким образом, два корня уравнения:

$x_1 = 1 + \sqrt{31}$ $x_2 = 1 - \sqrt{31}$

Теперь мы можем проверить интервалы между этими корнями. Нам интересны значения x, которые удовлетворяют неравенству $x_1 < x < x_2$. Но также помним, что изначально в нашем неравенстве стояли степени, поэтому необходимо убедиться, что степени удовлетворяют неравенству $3^{x^2 - 4x} < 3^{2(x^2 - 15)}$ в этом интервале.

Теперь проверим значения степеней в интервалах:

1. Когда $x < 1 - \sqrt{31}$, обе стороны неравенства положительны. Поскольку $x^2 - 4x$ и $2(x^2 - 15)$ увеличиваются при увеличении x в этом интервале, то неравенство верно.

2. Когда $1 - \sqrt{31} < x < 1 + \sqrt{31}$, степени $x^2 - 4x$ и $2(x^2 - 15)$ также положительны, и неравенство верно в этом интервале.

3. Когда $x > 1 + \sqrt{31}$, обе стороны неравенства положительны. Поскольку $x^2 - 4x$ и $2(x^2 - 15)$ уменьшаются при увеличении x в этом интервале, неравенство верно.

Таким образом, исходное неравенство выполняется при $1 - \sqrt{31} < x < 1 + \sqrt{31}$.