Question

Найти первообразную f(x) функции f(x)=4x^3-x^2+6x+3 график которой проходит через точку А(-1;6)

Answer 1

$f(x)=4x^3-x^2+6x+3 \\ \\ F(x)=\int {(4x^3-x^2+6x+3)} \, dx=4\cdot \frac{x^4}{4}-\frac{x^3}{3}+6\cdot \frac{x^2}{2}+3x+C=\\\\=x^4-\frac{x^3}{3}+3x^2+3x+C \\ \\ A(-1; \ 6) \\ \\ (-1)^4-\frac{(-1)^3}{3}+3\cdot (-1)^2+3\cdot (-1)+C =6 \\ \\ 1+\frac{1}{3}+3-3+C=6 \\ \\ \frac{4}{3}+C=6 \\ \\ C=6-\frac{4}{3}= \frac{18-4}{3}=\frac{14}{3} \\ \\ F(x)=x^4-\frac{x^3}{3}+3x^2+3x+\frac{14}{3}$

Answer 2

Чтобы найти первообразную функции $f(x)$, сначала найдем производную $F'(x)$ и затем интегрируем ее, учитывая начальное условие $F(-1) = 6$.

Для начала найдем производную $F'(x)$ функции $f(x)$:

$f'(x) = \frac{d}{dx} (4x^3 - x^2 + 6x + 3)$

Используем правила дифференцирования:

$f'(x) = 12x^2 - 2x + 6$

Теперь мы имеем производную функции $F(x)$, и мы можем интегрировать ее для нахождения первообразной $F(x)$:

$F(x) = \int (12x^2 - 2x + 6) dx$

Интегрируем каждый член по отдельности:

$F(x) = \int 12x^2 dx - \int 2x dx + \int 6 dx$

Теперь найдем интегралы для каждого члена:

$\int 12x^2 dx = 4x^3 + C_1$ $\int -2x dx = -x^2 + C_2$ $\int 6 dx = 6x + C_3$

Где $C_1$, $C_2$ и $C_3$ - произвольные константы интегрирования.

Теперь объединим все члены и добавим константы интегрирования:

$F(x) = 4x^3 + C_1 - x^2 + C_2 + 6x + C_3$

Теперь мы можем использовать начальное условие $F(-1) = 6$, чтобы найти значения констант:

$F(-1) = 4(-1)^3 + C_1 - (-1)^2 + C_2 + 6(-1) + C_3 = 6$

$F(-1) = -4 + C_1 - 1 + C_2 - 6 + C_3 = 6$

Теперь можно найти значения констант:

$C_1 - 1 + C_2 - 6 + C_3 = 6 + 4 - 1 - 6$

$C_1 - 1 + C_2 - 6 + C_3 = 3$

$C_1 + C_2 + C_3 = 10$

Таким образом, получаем значение одной из констант, например, $C_3 = 10 - C_1 - C_2$.

Итак, первообразная функции $f(x)$ с учетом начального условия $F(-1) = 6$ имеет вид:

$F(x) = 4x^3 + C_1 - x^2 + C_2 + 6x + 10 - C_1 - C_2$