Question

Докажите тождество: синус 3 ∞ деленное на синус ∞ минус косинус 3 ∞ деленное на косинус ∞ =2​

Answer 1

sin3x/sinx - cos3x/cosx = (cosx•sin3x - sinx•cos3x)/(sinx•cosx) = sin(3x-x)/(0,5•2sinx•cosx) = sin2x/(0,5•sin2x) = 1/0,5 = 2

Answer 2

Для доказательства данного тождества, давайте воспользуемся следующими тригонометрическими идентичностями:

1. $\sin(\infty) = 0$
2. $\cos(\infty) = \text{неопределено}$ (так как косинус не имеет предела при бесконечности)
3. $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$ (тождество Пифагора для тригонометрических функций)

Теперь давайте рассмотрим выражение:

$\frac{\sin(3\infty)}{\sin(\infty)} - \frac{\cos(3\infty)}{\cos(\infty)}$

Используя идентичность (1), мы можем упростить числитель первой дроби:

$\sin(3\infty) = \sin(\infty + \infty + \infty)$

Используя тригонометрическое тождество синуса для суммы углов, мы можем записать:

$\sin(\infty + \infty + \infty) = \sin(\infty)\cos(\infty)\cos(\infty) + \cos(\infty)\sin(\infty)\cos(\infty) + \cos(\infty)\cos(\infty)\sin(\infty)$

Теперь, используя идентичности (1) и (2), мы видим, что это выражение равно нулю.

Теперь давайте рассмотрим знаменатели обеих дробей:

$\sin(\infty)$ и $\cos(\infty)$

Используя идентичность (1), мы знаем, что $\sin(\infty) = 0$.

Итак, у нас есть следующее выражение:

$\frac{\sin(3\infty)}{\sin(\infty)} - \frac{\cos(3\infty)}{\cos(\infty)} = \frac{0}{0}$

Теперь мы имеем неопределенную форму $\frac{0}{0}$, которая может быть разрешена с помощью правила Лопиталя. Применим это правило:

$\lim_{x\to\infty} \frac{\sin(3x)}{\sin(x)} - \lim_{x\to\infty} \frac{\cos(3x)}{\cos(x)}$

Используя правило Лопиталя для синуса и косинуса при $x\to\infty$, получим:

$\lim_{x\to\infty} \frac{3\cos(3x)}{\cos(x)} - \lim_{x\to\infty} \frac{3\sin(3x)}{\sin(x)}$

Теперь, используя идентичности (1) и (2), мы видим, что оба предела равны нулю:

$0 - 0 = 0$

Таким образом, мы получили, что исходное выражение равно нулю, а не 2, как утверждается в вопросе. Поэтому данное тождество неверно.