Question

Помогите пожалуйста укажите соответствующий вывод для каждого неравенства обоснуйте свой ответа) x^2-7x+6>0b) -5x^2+2x+3>0c) -3x^2+5x-4>0d) x^2+4x+10≥0​

Answer 1

Ответ:

$a)\ \ x^2-7x+6>0\ \ ,\ \ D=25>0\ ,\ x_1=1\ ,\ x_2=6\ \to \\\\x\in (-\infty ;\ 1\ )\cup (\ 6\ ;+\infty )$

Ответ: решение неравенства - это  объединение двух промежутков .

$b)\ \ -5x^2+2x+3>0\ \ \to \ \ 5x^2-2x-30\ ,\\\\x_1=-\dfrac{3}{5}\ ,\ \ x_2=1\ \ \to \ x\in (\, -\dfrac{3}{5}\ ;\ 1\, )$

Ответ:  открытый промежуток .

$c)\ \ -3x^2+5x-4>0\ \ \to \ \ 3x^2-5x+4$

Ответ:  нет решений . .

$d)\ \ x^2+4x+10\geq 0\ \ ,\ \ D/4=-60\ \ \to \\\\x\in (-\infty \ ;\, +\infty \, )$

Ответ:  бесчисленное множество решений .

Answer 2

Для решения неравенств, сначала найдем корни квадратных уравнений, которые соответствуют левой части каждого неравенства. Затем мы будем использовать тестовые точки, чтобы определить, в каких интервалах неравенства выполняются.

a) x^2 - 7x + 6 > 0 Сначала найдем корни уравнения x^2 - 7x + 6 = 0: (x - 6)(x - 1) = 0 Отсюда получаем два корня: x = 1 и x = 6.

Теперь используем тестовые точки:

1. Выберем точку x = 0: Подставляем в исходное неравенство: 0^2 - 7*0 + 6 > 0 Получаем: 6 > 0 (верно).

2. Выберем точку x = 3: Подставляем в исходное неравенство: 3^2 - 7*3 + 6 > 0 Получаем: 3 > 0 (верно).

Таким образом, неравенство выполняется на интервалах (-∞, 1) и (6, +∞).

b) -5x^2 + 2x + 3 > 0 Сначала найдем корни уравнения -5x^2 + 2x + 3 = 0. Это уравнение можно решить с помощью квадратного уравнения или квадратного трехчлена.

Корни этого уравнения: x = -1 и x = 3/5.

Теперь используем тестовые точки:

1. Выберем точку x = -2: Подставляем в исходное неравенство: -5(-2)^2 + 2(-2) + 3 > 0 Получаем: -11 > 0 (ложь).

2. Выберем точку x = 1: Подставляем в исходное неравенство: -5(1)^2 + 2(1) + 3 > 0 Получаем: 0 > 0 (ложь).

Таким образом, неравенство не выполняется ни на каком интервале.

c) -3x^2 + 5x - 4 > 0 Сначала найдем корни уравнения -3x^2 + 5x - 4 = 0. Это уравнение можно решить с помощью квадратного уравнения или квадратного трехчлена.

Корни этого уравнения: x = 1 и x = -4/3.

Теперь используем тестовые точки:

1. Выберем точку x = 0: Подставляем в исходное неравенство: -3(0)^2 + 5(0) - 4 > 0 Получаем: -4 > 0 (ложь).

2. Выберем точку x = -2: Подставляем в исходное неравенство: -3(-2)^2 + 5(-2) - 4 > 0 Получаем: 12 > 0 (верно).

Таким образом, неравенство выполняется на интервале (-∞, -4/3) и (1, +∞).

d) x^2 + 4x + 10 ≥ 0 Сначала найдем корни уравнения x^2 + 4x + 10 = 0. Это уравнение можно решить с помощью квадратного уравнения или квадратного трехчлена.

Дискриминант D = 4^2 - 4110 = 16 - 40 = -24, который отрицателен. Это означает, что уравнение не имеет действительных корней.

Таким образом, уравнение x^2 + 4x + 10 не имеет корней, и оно всегда положительно.

Ответы: a) Неравенство выполняется на интервалах (-∞, 1) и (6, +∞). b) Неравенство не выполняется ни на каком интервале. c) Неравенство выполняется на интервалах (-∞, -4/3) и (1, +∞). d) Неравенство выполняется на всей числовой прямой (-∞, +∞).