Question

Учитель написал на доске число. Саша решил поделить его с остатком на 102, а Маша — на 103. Оказалось, что частное, полученное Сашей, и остаток, полученный Машей, в сумме дают 50. Какой остаток получил Саша? Укажите все возможные варианты.

Answer 1

Ответ:

50

Объяснение:

Минимальное подходящее число - 50 (0 + 50 = 50). Если мы прибавим к 50-ти 102, то целая часть Саши будет 1, а остаток останется прежним. Остаток Маши уменьшится на 1 (т. к. число, которое мы прибавили, на единицу меньше делителя), а, значит, сумма всё также будет равна 50-ти.

Answer 2

Пусть число на доске обозначается как N.

Саша поделил число N с остатком на 102, что можно записать как N = 102x + a, где x - частное, а - остаток.

Маша поделила то же число N с остатком на 103, что можно записать как N = 103y + b, где y - частное, b - остаток.

Известно, что x + y = 50 (поскольку частное и остаток в сумме дают 50).

Теперь у нас есть два уравнения:

1. N = 102x + a
2. N = 103y + b

Так как оба уравнения описывают одно и то же число N, то мы можем приравнять их:

102x + a = 103y + b

Теперь давайте рассмотрим возможные значения остатков a и b от 0 до 101 (поскольку 102 и 103 взаимно простые числа).

Для каждого значения остатка a мы можем выразить b следующим образом: b = 102x + a - 103y

Теперь мы можем перебрать все возможные значения остатков a и для каждого значения вычислить соответствующий остаток b исходя из уравнения x + y = 50. Если полученные значения b также являются целыми числами от 0 до 101, то это будут возможные остатки для Саши. Вот все возможные варианты:

a = 0, b = 49 a = 1, b = 146 a = 2, b = 243 ... a = 49, b = 0 a = 50, b = 97 a = 51, b = 194

Таким образом, Саша может получить остаток 0, 1, 2, ..., 49, 50, 51, а Маша получит остаток, который соответствует каждому из этих значений.