Question

Решить уравнение sin2x+cos2x=√2sin3x

Answer 1

Давайте решим уравнение пошагово:

Уравнение: sin(2x) + cos(2x) = √2sin(3x)

Сначала используем тождество для синуса и косинуса:

sin(2x) = 2sin(x)cos(x) cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x)

Теперь подставим эти выражения в уравнение:

2sin(x)cos(x) + (cos^2(x) - sin^2(x)) = √2sin(3x)

Далее, заметим, что sin^2(x) + cos^2(x) = 1:

2sin(x)cos(x) + (1 - sin^2(x)) = √2sin(3x)

Теперь перепишем sin(3x) в виде произведения sin(x) и выражения sin(2x + x):

2sin(x)cos(x) + (1 - sin^2(x)) = √2sin(x)(2cos^2(x) - 1)

Теперь у нас есть уравнение с одной переменной sin(x). Давайте решим его:

2sin(x)cos(x) + 1 - sin^2(x) = √2sin(x)(2cos^2(x) - 1)

Умножим обе стороны на √2sin(x):

2sin^2(x)cos(x) + √2sin(x) - sin^3(x) = 2sin(x)(2cos^2(x) - 1)

Теперь преобразуем 2sin^2(x)cos(x) с использованием тождества sin(2x):

sin(2x)cos(x) + √2sin(x) - sin^3(x) = 2sin(x)(2cos^2(x) - 1)

Теперь мы видим, что у нас есть уравнение, в котором присутствует sin(x) и cos(x). Мы можем воспользоваться исходным уравнением sin^2(x) + cos^2(x) = 1, чтобы выразить cos(x) через sin(x):

cos^2(x) = 1 - sin^2(x)

Таким образом,

2cos^2(x) - 1 = 2(1 - sin^2(x)) - 1 = 2 - 2sin^2(x) - 1 = 1 - 2sin^2(x)

Теперь вернемся к уравнению и подставим это выражение:

sin(2x)cos(x) + √2sin(x) - sin^3(x) = 2sin(x)(1 - 2sin^2(x))

Теперь у нас есть уравнение только с sin(x):

sin(2x)cos(x) + √2sin(x) - sin^3(x) = 2sin(x) - 4sin^3(x)

Теперь приведем все слагаемые на одну сторону уравнения:

sin(2x)cos(x) + √2sin(x) - sin^3(x) - 2sin(x) + 4sin^3(x) = 0

Теперь у нас есть уравнение:

sin(2x)cos(x) - 2sin(x) + √2sin(x) - sin^3(x) + 4sin^3(x) = 0

Теперь можно решить это уравнение численно или аналитически. Однако аналитическое решение в данном случае может быть сложным. Если вы хотите найти численное решение, то можете воспользоваться методами численной оптимизации или уравнений.