Question

(Эта задача только для 7 класса) Назовём кривым произведением сумму произведений цифр из одного разряда (Например кривое произведение чисел 123 и 456 равняется 1*4+2*5+3*6=4+10+18=32). Сколько пар трёхзначных чисел имеют кривое произведение равное 1? (Пары, отличающиеся порядком множителей, считаются различными, например, 123*567 и 567*123 --- это различные пары).

Answer 1

Ответ:

361

Объяснение:

Числа трехзначные, поэтому старший разряд у них не может быть равен нулю. Если в старшем разряде любого из чисел будет стоять любая цифра, кроме единицы, то кривое произведение окажется больше 1.

Для каждого из оставшихся двух разрядов произведение цифр должно быть равно нулю. Это возможно, если в одном числе стоит цифра ноль, а во втором – любая цифра. В противном случае для этого разряда произведение цифр окажется больше нуля, а кривое произведение чисел – больше 1.

Обозначим через "*" любую цифру, включая ноль, через "?" – любую цифру, кроме ноля. Тогда возможны такие пары чисел, дающие нулевое кривое произведение:

1) 100 и 1** ⇒ их 10·10=100 штук

2) 1?0 и 10* ⇒ их 10·9=90 штук

3) 10? и 1*0 ⇒ их 9·10=90 штук

4) 1?? и 100 ⇒ их 9·9=81 штука

Итого: 100+90+90+81=361 пара чисел.

Answer 2

Для решения этой задачи нужно перебрать все возможные трехзначные числа и проверить, имеют ли они кривое произведение, равное 1.

Трехзначные числа можно представить в виде xyz, где x, y и z - цифры от 1 до 9. Теперь нужно проверить условие кривого произведения: x * y + y * z = 1.

Посмотрим, какие пары (x, y, z) удовлетворяют этому условию:

1. Если x = 1, тогда y * z = 1 - y. Это уравнение имеет решение только в случае, если y = 2 и z = 3 (2 * 3 = 6, 1 - 2 = -1).

2. Если x = 2, тогда y * z = 1 - 2y. Это уравнение не имеет целочисленных решений для y и z от 1 до 9.

3. Если x = 3, тогда y * z = 1 - 3y. Это уравнение не имеет целочисленных решений для y и z от 1 до 9.

...

9. Если x = 9, тогда y * z = 1 - 9y. Это уравнение не имеет целочисленных решений для y и z от 1 до 9.

Таким образом, только одна пара трехзначных чисел (123 и 231) имеют кривое произведение, равное 1.