Question

Розв'язати нерівність методом інтервалів (2x+1)(x-3)/(2-x)(x-5) < 0 : це дріб​

Answer 1

$\dfrac{(2x+1)(x-3)}{(2-x)(x-5)} 0\\\\\\\dfrac{(x+0,5))(x-3)}{(x-2)(x-5)} >0$

+ + + + + (- 0,5) - - - - - (2) + + + + + (3) - - - - - (5) + + + + +

/////////////                         //////////////                    ////////////

Ответ : x ∈ (- ∞ ; - 0,5) ∪ (2 ; 3) ∪ (5 ; + ∞)

Answer 2

Для розв'язання нерівності методом інтервалів спершу знайдемо критичні точки, де функція стає рівною нулю або не існує.

Найперше, знайдемо значення x, при яких чисельник і знаменник відрізняються від нуля:

1. Нуль чисельника: 2x + 1 = 0 2x = -1 x = -1/2

2. Нуль знаменника: 2 - x = 0 x = 2

3. Нуль чисельника: x - 3 = 0 x = 3

4. Нуль знаменника: x - 5 = 0 x = 5

Отже, ми маємо критичні точки -1/2, 2, 3 і 5.

Тепер розглянемо ці інтервали між критичними точками і визначимо знак функції (під дробом) на кожному інтервалі:

1. Інтервал (-∞, -1/2): Виберемо x = -1, яке лежить в цьому інтервалі, і обчислимо знак функції: (2(-1) + 1)(-1 - 3)/(2 - (-1))(-1 - 5) = (-1)(-4)/(3)(-6) = 4/18 = 2/9 Функція додатня на цьому інтервалі.

2. Інтервал (-1/2, 2): Виберемо x = 0, яке лежить в цьому інтервалі, і обчислимо знак функції: (2(0) + 1)(0 - 3)/(2 - 0)(0 - 5) = (1)(-3)/(2)(-5) = 3/10 Функція від'ємна на цьому інтервалі.

3. Інтервал (2, 3): Виберемо x = 2.5, яке лежить в цьому інтервалі, і обчислимо знак функції: (2(2.5) + 1)(2.5 - 3)/(2 - 2.5)(2.5 - 5) = (6 + 1)(-0.5)(-2.5) = 7(0.5)(2.5) = 8.75 Функція додатня на цьому інтервалі.

4. Інтервал (3, 5): Виберемо x = 4, яке лежить в цьому інтервалі, і обчислимо знак функції: (2(4) + 1)(4 - 3)/(2 - 4)(4 - 5) = (8 + 1)(1)(-2) = 9(-2) = -18 Функція від'ємна на цьому інтервалі.

5. Інтервал (5, ∞): Виберемо x = 6, яке лежить в цьому інтервалі, і обчислимо знак функції: (2(6) + 1)(6 - 3)/(2 - 6)(6 - 5) = (12 + 1)(3)(1) = 13(3) = 39 Функція додатня на цьому інтервалі.

Тепер ми можемо скласти розв'язок нерівності на основі знаків функції на кожному інтервалі:

• На інтервалах (-∞, -1/2) і (3, 5) функція є додатною.
• На інтервалі (-1/2, 2) функція є від'ємною.
• На інтервалі (2, 3) і (5, ∞) функція є додатною.

Ми шукаємо інтервали, на яких функція менше нуля, тобто інтервал (-1/2, 2).

Отже, розв'язок нерівності: (2x + 1)(x - 3)/(2 - x)(x - 5) < 0 на інтервалі (-1/2, 2).