Question

Найти первый диференциал функции z=e^xy

Answer 1

Дифференциал первого порядка:

$dz=\dfrac{\partial z }{\partial x} dx+\dfrac{\partial z }{\partial y} dy$

Найдем частные производные:

$\dfrac{\partial z }{\partial x} =(e^{xy})'_x=e^{xy}\cdot(xy)'_x=e^{xy}\cdot y=ye^{xy}$

$\dfrac{\partial z }{\partial y} =(e^{xy})'_y=e^{xy}\cdot(xy)'_y=e^{xy}\cdot x=xe^{xy}$

Записываем дифференциал:

$dz=ye^{xy}dx+xe^{xy} dy$

Answer 2

Чтобы найти первый дифференциал функции $z = e^{xy}$, давайте воспользуемся правилом дифференцирования произведения. Пусть $u = xy$, тогда:

$dz = \frac{\partial z}{\partial x}dx + \frac{\partial z}{\partial y}dy$

Сначала найдем частные производные $\frac{\partial z}{\partial x}$ и $\frac{\partial z}{\partial y}$:

$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(e^{xy}) = ye^{xy}$

$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(e^{xy}) = xe^{xy}$

Теперь подставим эти частные производные в уравнение первого дифференциала:

$dz = ye^{xy}dx + xe^{xy}dy$

Таким образом, первый дифференциал функции $z = e^{xy}$ равен:

$dz = ye^{xy}dx + xe^{xy}dy$