Question

Улитка ползет вверх по дереву, начиная от его основания. За первую минуту она проползла 30 см, а за каждую следующую минуту- на 5 см больше, чем за предыдущую. За сколько минут улитка достигнет вершины дерева высотой 5,25м? В ответе укажите число минут

Answer 1

Ответ:

улитка достигнет вершины дерева за 10 минут

Answer 2

Давайте найдем закономерность в движении улитки. Пусть $S_n$ - расстояние, пройденное улиткой за $n$ минут, а $n$ - количество минут.

Известно, что за первую минуту улитка проползла 30 см. Таким образом, $S_1 = 30$ см.

За каждую следующую минуту улитка проползает на 5 см больше, чем за предыдущую. То есть, для каждого следующего $n$, $S_n = S_{n-1} + 5$.

Теперь мы можем записать формулу для расстояния, пройденного улиткой за $n$ минут:

$S_n = S_1 + 5 + 10 + 15 + \ldots + 5(n-1)$

Это арифметическая прогрессия. Сумма арифметической прогрессии выражается формулой:

$S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$

где $a$ - первый член прогрессии (в данном случае 30 см), $d$ - разность прогрессии (в данном случае 5 см), $n$ - количество членов прогрессии.

Теперь мы можем записать уравнение:

$S_n = 30 + \frac{n}{2}[2 \cdot 30 + (n-1) \cdot 5]$

Условие задачи гласит, что улитка достигнет вершины дерева высотой 5,25 метра. Это равно 525 см. Таким образом, мы можем записать уравнение:

$30 + \frac{n}{2}[2 \cdot 30 + (n-1) \cdot 5] = 525$

Теперь решим это уравнение для $n$.

$30 + n[60 + 5n - 5] = 525$

$30 + n[55 + 5n] = 525$

$30 + 55n + 5n^2 = 525$

$5n^2 + 55n - 495 = 0$

Теперь решим квадратное уравнение. Поделим все коэффициенты на 5:

$n^2 + 11n - 99 = 0$

$(n + 33)(n - 3) = 0$

Отсюда получаем два значения $n$: $n = -33$ (отрицательное значение в данном контексте не имеет смысла) и $n = 3$.

Таким образом, улитка достигнет вершины дерева высотой 5,25 метра за 3 минуты.