Question

Обчисліть площу фігури, обмеженоï лiнiями y = x ^ 2, y = 2 -х

Answer 1

Объяснение:

$y=x^2\ \ \ \ \ y=2-x\ \ \ \ S=?\\x^2=2-x\\x^2+x-2=0\\D=9\ \ \ \ \sqrt{D}=3\\x_1=-2\ \ \ \ x=1\\S=\int\limits^1_{-2} {(2-x-x^2)} \, dx =\int\limits^1_{-2} 2dx- \int\limits^1_{-2} xdx-\int\limits^1_{-2} (x^2)dx=2x\ |_{-2}^1-\frac{x^2}{2}\ |_{-2}^1-\frac{x^3}{3}\ |_{-2}^1=\\=(2*1-2*(-2))-(\frac{1^2}{2}-\frac{(-2)^2}{2})-(\frac{1^3}{3} -\frac{(-2)^3}{3})=\\=(2+4)-(\frac{1}{2}-2)-(\frac{1}{3}+\frac{8}{3})=6+1,5-3=4,5.$

Ответ: S=4,5 кв.ед.

Answer 2

Щоб обчислити площу фігури, обмеженої лініями $y = x^2$ та $y = 2 - x$, потрібно знайти точки їх перетину та побудувати графік цих функцій, щоб з'ясувати, яка з них є верхньою та нижньою межею області.

Спочатку знайдемо точки перетину обох функцій. Покладемо $x^2 = 2 - x$ і розв'яжемо це рівняння для $x$:

$x^2 + x - 2 = 0$

Це квадратне рівняння можна розв'язати за допомогою квадратного кореня або факторизації:

$(x + 2)(x - 1) = 0$

Звідси отримуємо дві можливі значення $x$: $x = -2$ або $x = 1$. Тепер можна знайти відповідні значення $y$:

1. Для $x = -2$: $y = (-2)^2 = 4$.
2. Для $x = 1$: $y = 2 - 1 = 1$.

Отже, точки перетину цих функцій - $(-2, 4)$ та $(1, 1)$.

Тепер потрібно визначити, яка з функцій $y = x^2$ та $y = 2 - x$ є верхньою межею області. Щоб це зрозуміти, можна порівняти значення цих функцій у вказаних точках:

1. Для $x = -2$: $x^2 = (-2)^2 = 4$ та $2 - x = 2 - (-2) = 4$. Обидві функції мають однакове значення.
2. Для $x = 1$: $x^2 = 1^2 = 1$ та $2 - x = 2 - 1 = 1$. Обидві функції мають однакове значення.

Оскільки обидві функції мають однакові значення в точках перетину, немає верхньої чи нижньої межі. Область обмежена обома функціями має форму "парибка" і виглядає як зображено на графіку нижче:

Отже, площа цієї області дорівнює нулю, оскільки вона не має жодної площі під кривими функцій.