Question

Найдите сумму девяти первых членов геометрической прогрессии, если S3=80, S6=90

Answer 1

Ответ: 365/4

Объяснение: Смотри рисунок

Answer 2

Давайте начнем с определения суммы первых n членов геометрической прогрессии:

Сумма первых n членов геометрической прогрессии: $S_n = a \frac{{r^n - 1}}{r - 1},$

где:

• $S_n$ - сумма первых n членов прогрессии,
• $a$ - первый член прогрессии,
• $r$ - знаменатель прогрессии (отношение любого члена к предыдущему).

Известно, что $S_3 = 80$ и $S_6 = 90$. Давайте воспользуемся этой информацией для нахождения a и r.

Для $S_3$: $S_3 = a \frac{{r^3 - 1}}{r - 1} = 80.$

Для $S_6$: $S_6 = a \frac{{r^6 - 1}}{r - 1} = 90.$

Теперь мы имеем систему уравнений:

a \frac{{r^3 - 1}}{r - 1} = 80 \\ a \frac{{r^6 - 1}}{r - 1} = 90 \end{cases} \] Разделим уравнения: \[ \frac{{r^6 - 1}}{r^3 - 1} = \frac{90}{80} = \frac{9}{8}. \] Решим это уравнение для r: \[ \frac{{r^6 - 1}}{r^3 - 1} = \frac{{r^3 + 1}}{{r^3 - 1}} = \frac{9}{8}. \] Умножим обе стороны на \( r^3 - 1 \): \[ 9(r^3 - 1) = 8(r^3 + 1). \] Раскроем скобки и упростим: \[ 9r^3 - 9 = 8r^3 + 8. \] \[ r^3 = 17. \] Теперь найдем a, используя \( S_3 \): \[ S_3 = a \frac{{r^3 - 1}}{r - 1} = 80. \] \[ 80 = a \frac{{17 - 1}}{r - 1} = a \frac{16}{r - 1}. \] Так как \( r^3 = 17 \), то \( r = \sqrt[3]{17} \). \[ 80 = a \frac{16}{\sqrt[3]{17} - 1}. \] \[ a = \frac{80}{\frac{16}{\sqrt[3]{17} - 1}} = \frac{80(\sqrt[3]{17} - 1)}{16} = 5(\sqrt[3]{17} - 1). \] Теперь, когда у нас есть a и r, мы можем найти сумму первых девяти членов геометрической прогрессии: \[ S_9 = a \frac{{r^9 - 1}}{r - 1}. \] \[ S_9 = 5(\sqrt[3]{17} - 1) \frac{{\sqrt[3]{17}^9 - 1}}{\sqrt[3]{17} - 1}. \] \[ S_9 = 5(\sqrt[3]{17} - 1)(\sqrt[3]{17}^8 + \sqrt[3]{17}^6 + \sqrt[3]{17}^3 + 1 + \sqrt[3]{17}^2 + \sqrt[3]{17} + 1). \] \[ S_9 = 5(\sqrt[3]{17}^9 - \sqrt[3]{17} + \sqrt[3]{17}^8 - 1 + \sqrt[3]{17}^6 - \sqrt[3]{17}^5 + \sqrt[3]{17}^3 - \sqrt[3]{17}^2 + \sqrt[3]{17}^2 - \sqrt[3]{17} + \sqrt[3]{17} + 1). \] \[ S_9 = 5(\sqrt[3]{17}^9 - 1). \] \[ S_9 \approx 5 \times 17^{1/3}. \] Теперь мы можем подставить значение \( S_9 \) и рассчитать приближенную сумму первых девяти членов геометрической прогрессии. Для точного значения необходимо уточнить значения a и r, что выходит за пределы этого ответа.