Question

Докажите, что многочлен х² + 2x+2y²+8y+9 прини мает неотрицательное значение при любых числен ных значениях входящих в него букв.​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Разложим 9: 9=8+1

Выделим полные квадраты этого многочлена:

x^2 + 2x + 1 + 2y^2 + 8y + 8

(x+1)^2 + 2(y^2 + 4y + 4)

(x+1)^2 + 2(y+2)^2

*любое число, возведённое в квадрат, обязательно даст число неотрицательное.

Ответ: чтд(что и требовалось доказать)

Answer 2

Чтобы доказать, что многочлен $x^2 + 2x + 2y^2 + 8y + 9$ принимает неотрицательное значение при любых численных значениях переменных $x$ и $y$, мы можем воспользоваться методом завершения квадратного выражения для членов, содержащих $x$ и $y$.

Давайте начнем с выражения $x^2 + 2x$. Мы можем завершить его квадрат, добавив и вычитая квадрат половины коэффициента при $x$:

$x^2 + 2x = x^2 + 2x + 1 - 1 = (x + 1)^2 - 1.$

Теперь мы сделаем то же самое для выражения $2y^2 + 8y$:

$2y^2 + 8y = 2(y^2 + 4y) = 2(y^2 + 4y + 4 - 4) = 2(y + 2)^2 - 8.$

Теперь мы можем переписать исходный многочлен:

$$\begin{align*} x^2 + 2x + 2y^2 + 8y + 9 &= (x + 1)^2 - 1 + 2(y + 2)^2 - 8 + 9 \\ &= (x + 1)^2 + 2(y + 2)^2. \end{align*}$$

Теперь давайте рассмотрим выражение $(x + 1)^2$. Очевидно, что оно всегда неотрицательно, так как это квадрат числа. Аналогично, $(y + 2)^2$ также всегда неотрицательно.

Таким образом, исходный многочлен можно представить в виде суммы двух неотрицательных выражений:

$(x + 1)^2 + 2(y + 2)^2.$

Так как квадрат любого числа неотрицателен, и умножение неотрицательного числа на 2 также дает неотрицательное значение, то исходный многочлен $x^2 + 2x + 2y^2 + 8y + 9$ всегда принимает неотрицательное значение при любых численных значениях переменных $x$ и $y$.