Question

19.4^x+ 4^-x<=(знакменьше или равно)20

Answer 1

Ответ:

$4^{x}+4^{-x}\leq 20\\\\4^{x}+\dfrac{1}{4^{x}} -20\leq 0\ \ \ ,\ \ \ \dfrac{(4^{x})^2-20\cdot 4^{x}+1}{4^{x}}\leq 0\ \ ,\\\\tak\ kak\ \ 4^{x}>0\ \ \ \Rightarrow \ \ \ (4^{x})^2-20\cdot 4^{x}+1\leq 0\ \ ,\\\\zamena:\ \ t=4^{x}>0\ \ ,\ \ t^2-20t+1\leq 0\ \ ,\ \ D/4=99\ \ ,\ \ t_{1,2}=10\pm 3\sqrt{11}\ ,\\\\t_1\approx 0,05\ \ ,\ \ t_2\approx 19,95\\\\znaki:\ \ \ +++[\, 10-3\sqrt{11}\, ]---[\, 10+3\sqrt{11}\, ]+++$

$t\in [\ 10-3\sqrt{11}\ ;\ 10+3\sqrt{11}\ ]\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \left\{\begin{array}{l}4^{x}\geq 10-3\sqrt{11}\\4^{x}\leq 10+3\sqrt{11}\end{array}\right$

Учтём, что  $y=4^{x}$  возрастающая функция:

$\left\{\begin{array}{l}4^{x}\geq 4^{log_4(10-3\sqrt{11})}\\4^{x}\leq 4^{log_4(10+3\sqrt{11})}\end{array}\right\ \ \ \left\{\begin{array}{l}x\geq log_4(10-3\sqrt{11})\\x\leq log_4(10+3\sqrt{11})\end{array}\right\\\\\\ log_4(10-3\sqrt{11})\leq \ x\ \leq log_4(10+3\sqrt{11})\\\\\\Otvet:\ \ x\in [\ log_4(10-3\sqrt{11})\ ;\ log_4(10+3\sqrt{11})\ ]$

Answer 2

Ответ: $[\log_4(10-\sqrt{99}); \log_4(10+\sqrt{99})]$

Объяснение:

$4^x+4^{-x}\leqslant 20 \; | \; \cdot4^x>0\\16^x-20\cdot4^x+1\leqslant 0\\D/4=100-1=99\\4^{x_{1,2}}=10\pm\sqrt{99}\\4^x \in [10-\sqrt{99}; 10+\sqrt{99}]\\x\in [\log_4(10-\sqrt{99}); \log_4(10+\sqrt{99})]$

Answer 3

Давайте решим данное неравенство. Начнем с переписывания неравенства, чтобы избавиться от отрицательных степеней:

$19.4^x + \frac{1}{4^x} \leq 20$

Теперь давайте сделаем замену. Обозначим $y = 4^x$, тогда неравенство примет следующий вид:

$19 \cdot y + \frac{1}{y} \leq 20$

Умножим все члены неравенства на $y$, чтобы избавиться от дроби:

$19y^2 + 1 \leq 20y$

Переносим все члены влево:

$19y^2 - 20y + 1 \leq 0$

Теперь это квадратное неравенство. Давайте попробуем найти корни квадратного уравнения, чтобы определить интервалы, на которых оно меняет знак:

$19y^2 - 20y + 1 = 0$

Используя квадратное уравнение, найдем корни $y$:

$y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

где $a = 19$, $b = -20$, и $c = 1$.

$y = \frac{20 \pm \sqrt{(-20)^2 - 4 \cdot 19 \cdot 1}}{2 \cdot 19}$

$y = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 76}}{38}$

$y = \frac{20 \pm \sqrt{324}}{38}$

$y = \frac{20 \pm 18}{38}$

Таким образом, корни уравнения $19y^2 - 20y + 1 = 0$ равны $y_1 = \frac{1}{19}$ и $y_2 = 1$.

Теперь определим интервалы, на которых неравенство $19y^2 - 20y + 1 \leq 0$ выполняется. Мы знаем, что корни уравнения $y$ равны $\frac{1}{19}$ и $1$. Так как $a > 0$, то график параболы $19y^2 - 20y + 1$ будет направлен вверх.

Следовательно, неравенство будет выполняться в интервалах между корнями уравнения $y$, то есть $y \in \left(0, \frac{1}{19}\right] \cup [1, +\infty)$.

Теперь вернемся к исходной переменной $x$:

$$4^x \in \left(0, \frac{1}{19}\right] \cup [1, +\infty)$$

Теперь найдем значения $x$, используя логарифмы:

$$x \in \left(\log_4\left(\frac{1}{19}\right), \log_4(1)\right] \cup \left(\log_4(1), +\infty\right)$$

$$x \in \left(\log_4\left(\frac{1}{19}\right), 0\right] \cup \left(0, +\infty\right)$$

Теперь выразим результаты в виде интервалов:

$$x \in \left(-\infty, \log_4\left(\frac{1}{19}\right]\right] \cup (0, +\infty)$$

Таким образом, решение неравенства $19.4^x+4^{}$ 0 0