Question

Решите биквадратные уравнения: x^4-5x^2+4=0 x^4-50x^2+49=0 x^4+3x^2-4=0

Answer 1

Ответ:

1) -2; -1; 1; 2

2) -7; -1; 1; 7

3) -1; 1

Объяснение:

1) $x^4-5x^2+4=0$

Пусть $y = x^2$

$y^2 - 5y + 4 = 0\\D = 5^2 - 4*4*1 = 9\\y_1 = \frac{5+3}{2} = 4\\ y_2 = \frac{5-3}{2} = 1$

Если y = 4, то $x^2 = 4; x = \pm 2$

Если y = 1, то $x^2 = 1; x = \pm 1$

2) $x^4-50x^2+49=0$

Пусть $y = x^2$

$y^2 - 50y + 49 = 0\\D = 50*50 - 4*49 = 2304; \sqrt{D} = 48\\y_1 = \frac{50 + 48}{2} = 49\\y_2 = \frac{50-48}{2} = 1$

Если y = 49, то $x^2 = 49; x = \pm 7$

Если y = 1, то $x^2 = 1; x = \pm 1$

3) $x^4+3x^2-4=0$

Пусть $y = x^2$

$y^2 + 3y - 4 = 0\\D = 9 + 16 = 25; \sqrt{D} = 5\\y_1 = \frac{-3+5}{2} = 1\\y_2 = \frac{-3-5}{2} = -4$

Если y = 1, то $x^2 = 1; x = \pm 1$

Если y = 2, то $x^2 = -4$, действительных решений нет

Answer 2

Давайте решим каждое из данных биквадратных уравнений по очереди.

1. Уравнение: x^4 - 5x^2 + 4 = 0

Давайте введем замену переменной, чтобы упростить это уравнение. Обозначим x^2 как t:

t^2 - 5t + 4 = 0

Теперь это квадратное уравнение в переменной t. Давайте его решим:

(t - 4)(t - 1) = 0

Отсюда получаем два уравнения:

1. t - 4 = 0 => t = 4
2. t - 1 = 0 => t = 1

Теперь вернемся к переменной x:

1. x^2 = 4 => x = ±2
2. x^2 = 1 => x = ±1

Таким образом, у нас есть четыре корня: x = 2, x = -2, x = 1, x = -1.

2. Уравнение: x^4 - 50x^2 + 49 = 0

Давайте введем замену переменной, чтобы упростить это уравнение. Обозначим x^2 как t:

t^2 - 50t + 49 = 0

Это также квадратное уравнение. Решим его:

(t - 49)(t - 1) = 0

Отсюда получаем два уравнения:

1. t - 49 = 0 => t = 49
2. t - 1 = 0 => t = 1

Теперь вернемся к переменной x:

1. x^2 = 49 => x = ±7
2. x^2 = 1 => x = ±1

Итак, у нас есть четыре корня: x = 7, x = -7, x = 1, x = -1.

3. Уравнение: x^4 + 3x^2 - 4 = 0

Давайте введем замену переменной, чтобы упростить это уравнение. Обозначим x^2 как t:

t^2 + 3t - 4 = 0

Снова это квадратное уравнение. Решим его:

(t + 4)(t - 1) = 0

Отсюда получаем два уравнения:

1. t + 4 = 0 => t = -4
2. t - 1 = 0 => t = 1

Теперь вернемся к переменной x:

1. x^2 = -4 (это уравнение не имеет действительных корней)
2. x^2 = 1 => x = ±1

Итак, у нас есть два корня: x = 1 и x = -1. Уравнение x^4 + 3x^2 - 4 = 0 имеет только эти два действительных корня.