Question

Заданы функции ƒ(x)=x^2+1 и g(x)=7-х. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиками функций ƒ(x) и g(x)

Answer 1

Ответ:

прикрепил фото

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной графиками функций $f(x) = x^2 + 1$ и $g(x) = 7 - x$, нам нужно найти точки их пересечения и затем вычислить определенный интеграл от $g(x)$ до $f(x)$ в пределах этих точек.

1. Начнем с нахождения точек пересечения. Для этого приравняем $f(x)$ и $g(x)$ и решим уравнение:

$x^2 + 1 = 7 - x$

Перенесем все члены на одну сторону уравнения:

$x^2 + x + 1 - 7 = 0$

$x^2 + x - 6 = 0$

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение. Разложим его на множители:

$(x + 3)(x - 2) = 0$

Из этого уравнения получаем два корня: $x = -3$ и $x = 2$.

2. Теперь, когда у нас есть точки пересечения, мы можем вычислить определенный интеграл. Площадь между двумя графиками будет равна разности интегралов:

$S = \int_{-3}^{2} (f(x) - g(x)) dx$

где $f(x) = x^2 + 1$ и $g(x) = 7 - x$.

$S = \int_{-3}^{2} ((x^2 + 1) - (7 - x)) dx$

Теперь вычислим этот интеграл:

$S = \int_{-3}^{2} (x^2 + 1 - 7 + x) dx$

$S = \int_{-3}^{2} (x^2 + x - 6) dx$

Интегрируя по $x$, получим:

$S = \left[\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} - 6x\right]_{-3}^{2}$

Теперь подставим верхний и нижний пределы интегрирования:

$S = \left(\frac{2^3}{3} + \frac{2^2}{2} - 6 \cdot 2\right) - \left(\frac{(-3)^3}{3} + \frac{(-3)^2}{2} - 6 \cdot (-3)\right)$

$S = \left(\frac{8}{3} + 2 - 12\right) - \left(\frac{-27}{3} + \frac{9}{2} + 18\right)$

$S = \left(\frac{8}{3} - \frac{6}{3} - 12\right) - \left(-9 + \frac{9}{2} + 18\right)$

$S = \left(\frac{2}{3} - 12\right) - \left(\frac{18}{2} + 9 + 18\right)$

$S = \left(\frac{2}{3} - \frac{36}{3}\right) - \left(\frac{36}{2} + 9 + 18\right)$

$S = \left(-\frac{34}{3}\right) - \left(\frac{36$