Question

Доведіть, що значення виразу 13¹²+5•9⁵⁰-9•13¹⁰-5•9⁴⁸ ділиться на 40

Answer 1

$13^{12}+5\cdot 9^{50}-9\cdot 13^{10}-5\cdot 9^{48}=40 \cdot (9^{48}+4 \cdot 13^{10})$

Answer 2

Щоб довести, що значення виразу 13¹² + 5•9⁵⁰ - 9•13¹⁰ - 5•9⁴⁸ ділиться на 40, ми можемо скористатися конгруентністю за модулем.

Дозвольте представити вираз у більш зручному вигляді: $13^{12} + 5 \cdot 9^{50} - 9 \cdot 13^{10} - 5 \cdot 9^{48}$

Ми хочемо довести, що цей вираз є кратним 40, тобто: $13^{12} + 5 \cdot 9^{50} - 9 \cdot 13^{10} - 5 \cdot 9^{48} \equiv 0 \pmod{40}$

Розглянемо кожну складову виразу окремо та визначимо їхні конгруентності за модулем 40:

1. Конгруентність $13^{12}$ за модулем 40:

   Згідно з теоремою Ейлера, якщо $a$ та $n$ є взаємно простими числами, то: $a^{\phi(40)} \equiv 1 \pmod{40}$

   Тут $\phi(40) = \phi(2^3 \cdot 5) = 40 \cdot \left(1 - \frac{1}{2}\right) \cdot \left(1 - \frac{1}{5}\right) = 16$.

   Отже, $13^{16} \equiv 1 \pmod{40}$.

   Ми можемо використовувати це, щоб визначити конгруентність $13^{12}$: $13^{12} \equiv (13^{16})^{\frac{3}{4}} \equiv 1^{\frac{3}{4}} \equiv 1 \pmod{40}$

2. Конгруентність $9^{50}$ за модулем 40:

   Якщо подивитися на остачу від ділення $9^n$ на 40, то можна помітити певний цикл: $9^1 \equiv 9 \pmod{40}$ $9^2 \equiv 1 \pmod{40}$ $9^3 \equiv 9 \pmod{40}$ $9^4 \equiv 1 \pmod{40}$ і так далі.

   Отже, $9^{50} \equiv 9^2 \equiv 1 \pmod{40}$.

3. Конгруентність $13^{10}$ за модулем 40:

   Використовуючи той самий підхід, що і для $13^{12}$, ми отримуємо: $13^{10} \equiv 13^4 \equiv 1 \pmod{40}$

4. Конгруентність $9^{48}$ за модулем 40:

   І снову, використовуючи властивість $9^n$ щодо остачі від ділення на 40, ми отримуємо: $9^{48} \equiv 9^4 \equiv 1 \pmod{40}$

Тепер підставимо ці конгруентності в вихідний вираз: $13^{12} + 5 \cdot 9^{50} - 9 \cdot 13^{10} - 5 \cdot 9^{48} \equiv 1 + 5 \cdot 1 - 1 - 5 \cdot 1 \equiv 0 \pmod{40}$

Таким чином, значення виразу ділиться на 40.