Question

Решите неравенство (4 + x)(2 - x) + (1 - x)2 > 0​

Answer 1

(4+x)×(2−x)+(1−x)2>0

Чтобы умножить 4+x на 2−x, используйте свойство дистрибутивности и приведение подобных.

8−2x−x

2

+(1−x)×2>0

Чтобы умножить 1−x на 2, используйте свойство дистрибутивности.

8−2x−x

2

+2−2x>0

Чтобы вычислить 10, сложите 8 и 2.

10−2x−x

2

−2x>0

Объедините −2x и −2x, чтобы получить −4x.

10−4x−x

2

>0

Умножьте неравенство на -1, чтобы коэффициент при наивысшей степени в 10−4x−x

2

 был положительным. Так как −1 <0, знак неравенства меняется на противоположный.

−10+4x+x

2

<0

Чтобы решить неравенство, разложите левую часть на множители. Квадратный многочлен можно разложить с помощью преобразования ax

2

+bx+c=a(x−x

1

​

)(x−x

2

​

), где x

1

​

 и x

2

​

 являются решениями квадратного уравнения ax

2

+bx+c=0.

−10+4x+x

2

=0

Все уравнения вида ax

2

+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения  

2a

−b±

b

2

−4ac

​

​

. Замените в формуле корней квадратного уравнения a на 1, b на 4 и c на −10.

x=

2

−4±

4

2

−4×1(−10)

​

​

Выполните арифметические операции.

x=

2

−4±2

14

​

​

РазРешите уравнение, x=

2

−4±2

14

​

​

, когда ± — плюс, а когда ±-минус.

x=

14

​

−2

x=−

14

​

−2

Перепишите неравенство, используя полученные решения.

(x−(

14

​

−2))(x−(−

14

​

−2))<0

Чтобы произведение было отрицательным, x−(

14

​

−2) и x−(−

14

​

−2) должны иметь противоположные знаки. Рассмотрим случай, когда x−(

14

​

−2) положительным и x−(−

14

​

−2) отрицательным.

x−(

14

​

−2)>0

x−(−

14

​

−2)<0

Это неверно для любого x.

x∈∅

Рассмотрим случай, когда x−(−

14

​

−2) положительным и x−(

14

​

−2) отрицательным.

x−(−

14

​

−2)>0

x−(

1 −2)<0

Решение, которое удовлетворяет обоим неравенствам: x∈(−( 14 +2), 14 −2)

x∈(−( 14​ +2), 14 −2)

Окончательное решение — это объединение полученных решений.

x∈(− 14 −2, 14−2)

Answer 2

Для решения данного неравенства мы можем применить следующие шаги:

1. Раскроем скобки и упростим неравенство:

(4 + x)(2 - x) + (1 - x)² > 0

Раскроем первую пару скобок, используя формулу (a - b)² = a² - 2ab + b²:

(4x + 2x² - x² - x) + (1 - 2x + x²) > 0

2. Объединим подобные члены:

(4x - x) + (2x² - x²) + (1 - 2x + x²) > 0

3. Упростим выражение:

3x + x² + 1 - 2x + x² > 0

4. Сгруппируем члены:

(3x - 2x) + (x² + x²) + 1 > 0

5. Продолжим упрощать:

x + 2x² + 1 > 0

6. Теперь неравенство имеет вид квадратного трёхчлена:

2x² + x + 1 > 0

7. Чтобы найти интервалы, на которых это неравенство выполняется, мы можем использовать метод знаков:

Сначала найдем корни квадратного уравнения 2x² + x + 1 = 0. Для этого используем дискриминант:

D = b² - 4ac = 1² - 4(2)(1) = 1 - 8 = -7

Поскольку дискриминант отрицательный, у нас нет действительных корней.

8. Теперь определим знак выражения 2x² + x + 1 на интервалах между корнями, которых у нас нет.

Поскольку дискриминант отрицательный, выражение 2x² + x + 1 всегда будет положительным для всех значений x. То есть, данное неравенство выполняется для всех действительных значений x.

Ответ: Неравенство (4 + x)(2 - x) + (1 - x)² > 0 выполняется для всех действительных значений x.