Question

В ящике лежат 12 желтых и 15 синих шаров. Какова вероятность того, что из выбранных наугад восьми шаров пять будут желтого цвета?

Answer 1

Если из 8 шаров 5 должны быть желтые, то 3 оставшиеся будут синими. Для начала нужно найти количество способов, при которых можно достать 5 желтых и 3 синих шаров из имеющихся отдельных цветов. Мы используем сочетания, потому что порядок не имеет значения при составления вариантов(сочетания Сᵃₙ=n!/a!(n-a)! n!=1*2*3...*n)

С⁵₁₂=12!/5!(12-5)!=12!/5!7!=8×9×10×11×12÷5!=792

C³₁₅=15!/(15-3)!3!=15!/12!3!=13×14×15÷3!=455

Мы достаем 5 желтых "и" 3 синих. "И" это логическое умножение, то есть общее количество способов, , при которых можно достать 5 желтых и 3 синих шаров из имеющихся отдельных цветов, равняется произведению найденных сочетаний

С⁵₁₂×C³₁₅=792×455=360360 способов

Теперь считаем количество способов, при которых можно взять 8 любых шаров из всех имеющихся шаров

С⁸₂₇=27!/(27-8)!8!=27!/19!8!=20×21×22×23×24×25×26×27÷8!=2220075 всех возможных способов взятия 8 шаров

Вероятность -это отношение количества благоприятных случаев к количеству общих случаев, то есть отношение количества способов взятия 5 желтых  и 3 синих шаров отдельными цветами, к количеству способов взятия 8 шаров из общего числа

P(A)=m/n=С⁵₁₂×C³₁₅÷С⁸₂₇=360360÷2220075 =0.16  

Answer 2

Для решения этой задачи используется комбинаторика и вероятность.

Сначала определим общее количество способов выбрать 8 шаров из 27 (12 желтых и 15 синих):

C(27, 8) = 27! / (8!(27 - 8)!) = 27! / (8! * 19!) = (27 * 26 * 25 * 24 * 23 * 22 * 21 * 20) / (8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1) = 5311735.

Теперь определим количество способов выбрать 5 желтых шаров из 12 и 3 синих шара из 15:

C(12, 5) * C(15, 3) = (12! / (5!(12 - 5)!)) * (15! / (3!(15 - 3)!)) = (792 * 455) = 360360.

Теперь мы знаем общее количество успешных исходов (когда выбрано 5 желтых и 3 синих шара), и общее количество исходов. Таким образом, вероятность того, что из выбранных наугад 8 шаров 5 будут желтого цвета, равна:

Вероятность = (количество успешных исходов) / (общее количество исходов) = 360360 / 5311735 ≈ 0.0678.

Итак, вероятность того, что из выбранных наугад восьми шаров пять будут желтого цвета, составляет примерно 0.0678 или около 6.78%.