Question

Докажите тождество sin100 градусов+sin20 градусов-корень3cos40 градусов=0

Answer 1

Доказательство:

$sin100^0+sin20^0-\sqrt{3}cos40^0=0\\\\(sin100^0+sin20^0)-\sqrt{3}cos40^0=0\\\\2sin\frac{100^0+20^0}{2}cos\frac{100^0-20^0}{2}-\sqrt{3}cos40^0=0\\\\2sin60^0cos40^0-\sqrt{3}cos40^0=0\\\\2*\frac{\sqrt{3}}{2}cos40^0-\sqrt{3}cos40^0=0\\\\\sqrt{3}cos40^0-\sqrt{3}cos40^0=0\\\\0=0$

Тождество доказано

Формула для решения - сумма синусов:

$sina+sin\beta=2sin\frac{a+\beta}{2}cos\frac{a-\beta}{2}$

Answer 2

Давайте докажем данное тождество шаг за шагом, используя тригонометрические идентичности. Воспользуемся следующими идентичностями:

1. Синус суммы углов:

   $\sin(A + B) = \sin(A) \cos(B) + \cos(A) \sin(B)$

2. Косинус суммы углов:

   $\cos(A + B) = \cos(A) \cos(B) - \sin(A) \sin(B)$

Также, мы знаем следующие значения синусов и косинусов для углов:

$\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$

$\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$

$\sin(90^\circ) = 1$

$\cos(90^\circ) = 0$

Теперь давайте выразим $100^\circ$, $20^\circ$, и $40^\circ$ через комбинации углов $30^\circ$, $60^\circ$, и $90^\circ$:

$100^\circ = 60^\circ + 40^\circ$

$20^\circ = 30^\circ - 10^\circ$

$40^\circ = 30^\circ + 10^\circ$

Используя эти значения и тригонометрические идентичности, мы можем переписать исходное тождество:

$\sin(100^\circ) + \sin(20^\circ) - \sqrt{3}\cos(40^\circ)$

$\sin(60^\circ + 40^\circ) + \sin(30^\circ - 10^\circ) - \sqrt{3}\cos(30^\circ + 10^\circ)$

Теперь применяем идентичности для синуса и косинуса суммы углов:

$\left(\sin(60^\circ)\cos(40^\circ) + \cos(60^\circ)\sin(40^\circ)\right) + \left(\sin(30^\circ)\cos(10^\circ) - \cos(30^\circ)\sin(10^\circ)\right) - \sqrt{3}\left(\cos(30^\circ)\cos(10^\circ) - \sin(30^\circ)\sin(10^\circ)\right)$

Теперь подставляем значения синусов и косинусов для углов $30^\circ$, $40^\circ$, и $60^\circ$:

$\left(\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} \cdot \cos(10^\circ) - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sin(10^\circ)\right) - \sqrt{3}\left(\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \cos(10^\circ) - \frac{1}{2} \cdot \sin(10^\circ)\right)$