Question

30 баллов!!!Упростить: cos12x+cos8x+cos4x/sin12x+sin8x+sin4x​

Answer 1

Объяснение:

$\boxed {cos\alpha +cos\beta =2cos\frac{\alpha +\beta }{2}cos\frac{\alpha -\beta }{2} }\\ \boxed {sin\alpha +sin\beta =2sin\frac{\alpha +\beta }{2}cos\frac{\alpha -\beta }{2} }$

$\frac{cos12x+cos8x+cos4x}{sin12x+sin8x+sin4x}=\frac{(cos12x+cos4x)+cos8x}{(sin12x+sin4x)+sin8x}= \frac{2cos8xcos4x+cos8x}{2sin8xcos4x+sin8x}=\\ =\frac{cos8x*(2cos4x+1)}{sin8x*(2cos4x+1)}=\frac{cos8x}{sin8x} =ctg8x.$

Answer 2

Для упрощения данного выражения мы можем воспользоваться тригонометрическими тождествами. В частности, мы можем воспользоваться формулой суммы для косинуса и синуса:

cos(a + b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b) sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)

Сначала выразим суммы в числителе и знаменателе:

cos12x + cos8x + cos4x = cos(8x + 4x) + cos8x + cos4x sin12x + sin8x + sin4x = sin(8x + 4x) + sin8x + sin4x

Теперь воспользуемся формулами суммы для косинуса и синуса:

cos(8x + 4x) = cos(8x)cos(4x) - sin(8x)sin(4x) sin(8x + 4x) = sin(8x)cos(4x) + cos(8x)sin(4x)

Подставим эти выражения в исходное выражение:

(cos(8x)cos(4x) - sin(8x)sin(4x) + cos8x + cos4x) / (sin(8x)cos(4x) + cos(8x)sin(4x) + sin8x + sin4x)

Теперь можно произвести сокращение:

cos(8x) и cos(8x) в числителе сокращаются, а sin(8x) и sin(8x) в знаменателе сокращаются:

(cos(4x) - sin(4x) + cos4x + cos4x) / (sin(4x)cos(4x) + cos(4x)sin(4x) + sin4x + sin4x)

Сокращаем cos4x и sin4x в числителе:

(2cos4x - 2sin4x) / (2sin4x + 2sin4x)

Теперь можно дальше сократить на 2 в числителе и знаменателе:

(cos4x - sin4x) / (sin4x + sin4x)

Из этого выражения можно упростить:

(cos4x - sin4x) / 2sin4x

Таким образом, упрощенное выражение равно:

(cos4x - sin4x) / 2sin4x

Итак, ответ: (cos4x - sin4x) / 2sin4x.