Question

12sin2x+sinx+cosx+6=0 Можно пожалуйста с подробным решением

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Упростим выражение:
$6*sin2x+sinx+cosx+6=12*sinx*cosx+sinx+cosx+6=12*sinx*cosx+sinx+cosx+6sin^{2} x+6cos^{2} x=6(sin^{2} x+2*sinx*cosx+cos^{2} x)+sinx+cosx=6(sinx+cosx)^{2} +(sinx+cosx)=(sinx+cosx)(6sinx+6cosx+1)=0$

Отсюда:

1)
$sinx+cosx=0|:cosx\neq 0\\tgx+1=0\\tgx=-1\\x=-\frac{\pi }{4} +\pi k$

2)

$6sinx+6cosx+1=0\\6sinx+6(\frac{\pi }{2}- sinx)+1=0\\6\sqrt{2} sin(x+\frac{\pi}{4})+1=0\\ \left[\begin{array}{ccc}x=2arctg(\frac{6}{5} -\frac{\sqrt{71} }{5} )\\x=2arctg(\frac{6}{5} +\frac{\sqrt{71} }{5} )\\\end{array}$

Answer 2

Давайте решим уравнение 12sin(2x) + sin(x) + cos(x) + 6 = 0. Для этого мы будем использовать различные тригонометрические и алгебраические методы.

1. Преобразование sin(2x) в более простую форму: Помним, что sin(2x) = 2sin(x)cos(x). Заменяем sin(2x) на 2sin(x)cos(x): 12(2sin(x)cos(x)) + sin(x) + cos(x) + 6 = 0.

2. Объединение sin(x) и cos(x) в одну функцию: Введем новую переменную t = sin(x) + cos(x). Теперь у нас есть следующее уравнение: 12(2t) + t + 6 = 0.

3. Решение уравнения относительно t: Упростим уравнение: 24t + t + 6 = 0, 25t + 6 = 0.

   Выразим t: 25t = -6, t = -6/25.

4. Возврат к переменным sin(x) и cos(x): Теперь, когда мы знаем значение t, мы можем вернуться к нашим исходным переменным sin(x) и cos(x):

   t = sin(x) + cos(x), -6/25 = sin(x) + cos(x).

5. Решение уравнения sin(x) + cos(x) = -6/25: Мы можем воспользоваться методом сложения тригонометрических функций. У нас есть следующие соотношения:

   sin(45°) = cos(45°) = 1/√2.

   Теперь давайте воспользуемся этими соотношениями:

   -6/25 = sin(x) + cos(x), -6/25 = (1/√2)(sin(x) + cos(x))(1/√2), (умножаем обе стороны на 1/√2), -6/25 = (1/√2)(sin(45°))(sin(x) + cos(45°))(cos(x)),

   Теперь мы можем видеть, что наше уравнение сводится к следующему:

   -6/25 = (1/√2)(1/√2)(sin(45°)sin(x) + sin(45°)cos(x)),

   -6/25 = (1/2)(sin(45°)sin(x) + sin(45°)cos(x)).

   Теперь используем сумму углов для sin(45° + x):

   -6/25 = (1/2)sin(45° + x).

6. Решение для sin(45° + x): Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от деления на 2:

   -12/25 = sin(45° + x).

7. Используем обратную функцию sin, чтобы найти значение угла (45° + x):

   x = arcsin(-12/25).

Теперь мы нашли значение угла x. Однако не забывайте, что синус имеет множественные решения, так как он периодическая функция. Мы можем добавить к x кратное периода синуса (360°), чтобы получить дополнительные решения.

Таким образом, ответом на уравнение 12sin(2x) + sin(x) + cos(x) + 6 = 0 является:

x = arcsin(-12/25) + 360°n, где n - любое целое число.