Question

Будь ласка, допоможіть!!!Потрібно сьогодні!!! Знайдіть проміжки зростання, спадання і точки екстремуму фукнції f(x)=x^4+2x^3. Зразу дякую <3

Answer 1

Ответ:

1)  x₁ = 0;  x₂ = -1.5    - критические точки

2)  точка x₂ = 1,5 - точка минимума.

3)

(-∞; -1,5)    функция убывает

(-1,5; 0)      функция возрастает

(0; +∞)        функция возрастает

Объяснение:

у = x⁴ + 2x³

Первая производная

y' = 4x³ + 6x² = 2x²( 2x + 3)

2x²( 2x + 3) = 0;     x₁ = 0;  x₂ = -1.5    - критические точки

Рассмотрим поведение производной на промежутках

(-∞; -1,5)     у'(-2) = -4   < 0     функция убывает

(-1,5; 0)      у'(-1) = 2      > 0    функция возрастает

(0; +∞)         у'(1) = 10     > 0    функция возрастает

В окрестности точки x₂ = -1,5 производная функции меняет знак с (-) на (+). Следовательно, точка x₂ = 1,5 - точка минимума.

Answer 2

Звісно, я допоможу вам знайти проміжки зростання, спадання та точки екстремуму для функції $f(x) = x^4 + 2x^3$.

1. Спочатку знайдемо похідну функції $f'(x)$:

$f'(x) = 4x^3 + 6x^2$

2. Тепер знайдемо точки, в яких $f'(x) = 0$, це будуть можливі точки екстремуму. Розв'яжемо рівняння $4x^3 + 6x^2 = 0$:

$2x^2(2x + 3) = 0$

Розв'язавши це рівняння, отримаємо дві можливі точки екстремуму:

a) $2x^2 = 0$ -> $x = 0$ b) $2x + 3 = 0$ -> $x = -3/2$

3. Тепер давайте розглянемо інтервали між цими точками:

a) Візьмемо інтервал $(- \infty, -\frac{3}{2})$. На цьому інтервалі $f'(x) < 0$, тобто похідна функції від'ємна, що вказує на спадання функції $f(x)$.

b) В інтервалі $(- \frac{3}{2}, 0)$ похідна $f'(x) > 0$, тобто функція $f(x)$ зростає на цьому інтервалі.

c) На інтервалі $(0, +\infty)$ знову $f'(x) > 0$, тобто функція $f(x)$ також зростає на цьому інтервалі.

4. Тепер залишилося знайти значення функції $f(x)$ в точках екстремуму і на кінцях інтервалів:

a) $f(-\frac{3}{2}) = (-\frac{3}{2})^4 + 2(-\frac{3}{2})^3$ b) $f(0) = 0^4 + 2(0)^3$ c) І на кінцях інтервалів виберемо, наприклад, $f(-4)$ і $f(1)$ як приклади.

Порівняйте значення функції на цих точках, щоб знайти точніше проміжки зростання та спадання, а також точки екстремуму.