Question

Знайдіть проміжки зростання, проміжки спадання, точки екстремуму та екстремуми функції g(x)=2x³+3x²–12x

Answer 1

Найти  промежутки возрастания, промежутки убывания точки экстремума функции  g(x)=2x³+3x²–12x

g'(x) = 6x² + 6x -12

6x² + 6x -12= 0

x² + x -12 = 0

По т. Виета корни  - 4  и  3

-∞                      -4                   3               +∞

          +                         -                  +              это знаки  производной

 возраст-е     max  уб-е     min    возраст-е    

Answer 2

Для знаходження проміжків зростання, проміжків спадання, точок екстремуму та екстремумів функції g(x) = 2x³ + 3x² - 12x, спершу знайдемо похідну цієї функції та розв'яжемо рівняння g'(x) = 0 для знаходження точок, де похідна дорівнює нулю. Потім вивчимо знаки похідної навколо цих точок.

1. Знаходимо похідну функції g(x): g'(x) = d/dx (2x³ + 3x² - 12x) g'(x) = 6x² + 6x - 12

2. Розв'язуємо рівняння g'(x) = 0 для знаходження точок екстремуму: 6x² + 6x - 12 = 0

   Ділимо на 6 для спрощення: x² + x - 2 = 0

   Факторизуємо: (x + 2)(x - 1) = 0

   Знаходимо дві точки екстремуму: x₁ = -2, x₂ = 1

3. Вивчимо знаки похідної навколо знайдених точок:

   a) Візьмемо значення x менше -2 (наприклад, x = -3): g'(-3) = 6(-3)² + 6(-3) - 12 = 54 - 18 - 12 = 24 (позитивне число)

   b) Візьмемо значення x між -2 та 1 (наприклад, x = 0): g'(0) = 6(0)² + 6(0) - 12 = -12 (від'ємне число)

   c) Візьмемо значення x більше 1 (наприклад, x = 2): g'(2) = 6(2)² + 6(2) - 12 = 24 (позитивне число)

4. Аналізуємо результати:

   a) Коли x < -2, g'(x) > 0 (похідна позитивна), тобто функція g(x) зростає на цьому проміжку. b) Коли -2 < x < 1, g'(x) < 0 (похідна від'ємна), тобто функція g(x) спадає на цьому проміжку. c) Коли x > 1, g'(x) > 0 (похідна позитивна), тобто функція g(x) зростає на цьому проміжку.

Таким чином, отримали:

• Проміжок зростання: (1, +∞)
• Проміжок спадання: (-∞, -2) та (-2, 1)
• Точка екстремуму: x = -2 (мінімум), x = 1 (максимум)

Зверніть увагу, що для визначення, чи є точка екстремуму мінімумом або максимумом, можна використовувати другу похідну або тест знаків першої похідної. Однак, оскільки друга похідна функції g(x) = 12x + 6 є постійною, то наша аналіз похідної дав нам інформацію про тип точок екстремуму.