Question

4. Дано функцію f(x)=x^2-3x/x-4 . 1. ) °Знайдіть найбільше й найменше значення функції на даному проміжку [–1; 3]. 2. ) Знайдіть проміжки зростання і спадання та точки екстремуму функції

Answer 1

$f(x)=\dfrac{x^2-3x}{x-4}\ \ ,\ \ \ x\ne 4\\\\f'(x)=\dfrac{(2x-3)(x-4)-(x^2-3x)}{(x^2-3x)^2}=\dfrac{2x^2-11x+12-x^2+3x}{(x-4)^2}=\\\\\\=\dfrac{x^2-8x+12}{(x-4)^2}=0\ \ \ \to \ \ x^2-8x+12=0\ ,\ \ x_1=2\ ,\ x_2=6\ ,\ x\ne 4\\\\znaki\ f'(x):\ \ \ +++[\, 2\; ]---[\; 6\; ]+++\\\\{}\qquad \qquad \qquad \quad \nearrow \quad [\; 2\; ]\ \ \searrow \quad [\; 6\; ]\ \ \nearrow \\\\f(x)\; vozrastaet:\ \ x\in (-\infty ;2\; ]\ \ ,\ \ x\in [\; 6;+\infty )\\\\f(x)\; ybuvaet\ :\ \ x\in [\; 2\, ;\, 4\, )\cup (4\, ;\, 6\; ]$

$x_{max}=2\ \ ,\ \ y_{max}=\dfrac{4-6}{2-4}=1\\\\x_{min}=6\ \ ,\ \ y_{min}=\frac{36-18}{6-4}=9$

$f(-1)=\dfrac{1+3}{-1-4}=-\dfrac{4}{5}\\\\f(3)=\dfrac{9-9}{3-4}=0$

На промежутке [-1;3] наибольшее значение у(2)=1 , наименьшее значение  у(-1)=-4/5 .

Answer 2

Давайте розглянемо кожен пункт окремо.

1. Найбільше й найменше значення функції на проміжку [–1; 3]:

Спершу знайдемо похідну функції і встановимо, де вона дорівнює нулю, щоб знайти можливі точки екстремуму:

f(x) = (x^2 - 3x) / (x - 4)

Для обчислення похідної застосуємо правило диференціювання частки двох функцій:

f'(x) = [(x - 4) * (2x - 3) - (x^2 - 3x) * 1] / (x - 4)^2 = (2x^2 - 11x + 12) / (x - 4)^2

Тепер знайдемо точки, де похідна дорівнює нулю:

2x^2 - 11x + 12 = 0

Це квадратне рівняння можна розв'язати за допомогою факторизації або квадратного кореня. Знайдемо корені:

(2x - 3)(x - 4) = 0

Звідси x = 3/2 або x = 4.

Таким чином, можливі точки екстремуму розташовані в x = 3/2 та x = 4.

Тепер підставимо ці точки та кінці проміжку в функцію f(x), щоб знайти значення і визначити найбільше й найменше значення на проміжку [-1; 3]:

f(-1) = (-1)^2 - 3*(-1) / (-1 - 4) = 4/5 f(3/2) = (3/2)^2 - 3*(3/2) / (3/2 - 4) = -9/4 f(4) = 4^2 - 3*4 / (4 - 4) = не визначено (розрив у знаменнику)

Отже, найбільшим значенням є 4/5, досягнуте при x = -1, а найменшим значенням є -9/4, досягнуте при x = 3/2.

2. Проміжки зростання і спадання, точки екстремуму:

Тепер ми знаємо, що можливі точки екстремуму знаходяться в x = 3/2 та x = 4. Давайте проаналізуємо поведінку функції на різних інтервалах.

a) Інтервал (-∞; 3/2): f'(x) = (2x^2 - 11x + 12) / (x - 4)^2

Підставляючи в похідну значення менше 3/2, можемо з'ясувати знак похідної: f'(1) = 21^2 - 111 + 12 / (1 - 4)^2 = -1 < 0

Це означає, що функція спадає на цьому інтервалі.

b) Інтервал (3/2; 4): f'(2) = 22^2 - 112 + 12 / (2 - 4)^2 = 1 > 0

Це означає, що функція зростає на цьому інтервалі.

c) Інтервал (4; ∞): Тут ми маємо розрив у знаменнику, тому функція не визначена на цьому інтервалі.

Таким чином, точка екстремуму x = 3/2 є точкою мінімуму, а x = 4 є точкою максимуму.