Question

Розв'яжіть рівняння 2cos² x = 4sin x * cos x - 1​

Answer 1

Ответ:

Решение:

Объяснение:

Дополняю ответ

Answer 2

Для розв'язання рівняння 2cos²(x) = 4sin(x) * cos(x) - 1 спробуйте використовувати ідентичності тригонометричних функцій. Перш за все, перепишемо дане рівняння так:

2cos²(x) = 4sin(x) * cos(x) - 1

Тепер використаємо ідентичність sin(2x) = 2sin(x) * cos(x):

cos(2x) = 2sin(x) * cos(x)

Зараз ми можемо замінити 2sin(x) * cos(x) в рівнянні на cos(2x):

2cos²(x) = cos(2x) - 1

Тепер ми маємо рівняння:

2cos²(x) - cos(2x) + 1 = 0

Можна ввести змінну y = cos(x) і переписати рівняння:

2y² - cos(2x) + 1 = 0

Тепер розв'яжемо рівняння відносно y. Для цього можна використовувати квадратне рівняння:

2y² - cos(2x) + 1 = 0

Враховуючи, що cos(2x) = 2cos²(x) - 1, отримаємо:

2y² - (2cos²(x) - 1) + 1 = 0

2y² - 2cos²(x) + 1 + 1 = 0

2y² - 2cos²(x) + 2 = 0

Розділимо обидві сторони на 2:

y² - cos²(x) + 1 = 0

Тепер ми маємо квадратне рівняння відносно y:

y² - cos²(x) + 1 = 0

Зараз можна використовувати тригонометричну ідентичність cos²(x) = 1 - sin²(x):

y² - (1 - sin²(x)) + 1 = 0

y² - 1 + sin²(x) + 1 = 0

y² + sin²(x) = 0

Тепер ми бачимо, що y² + sin²(x) завжди більше або дорівнює нулю, тому єдиним розв'язком цього рівняння є y = 0. Тобто:

cos(x) = 0

Це рівняння має безліч розв'язків, оскільки cos(x) = 0 для будь-якого x, яке є кратним π/2 (тобто x = π/2, 3π/2, 5π/2 і т. д.). Таким чином, розв'язками вихідного рівняння є:

x = π/2 + kπ, де k - це ціле число.