Question

Доведіть тотожність sin 3a/sin - cos 3a/cos a=2​

Answer 1

Ответ:

решение смотри на фотографии

Answer 2

Щоб довести цю тотожність, спочатку переведемо обидві сторони рівняння в однаковий доданок, який був би спільним для sin(3a) та cos(a). Ми можемо використовувати тотожності тригонометричних функцій для цього. Зокрема, ми можемо використовувати тотожність $\sin(3a) = 3\sin(a) - 4\sin^3(a)$ та $\cos(3a) = 4\cos^3(a) - 3\cos(a)$.

Отже, почнемо з лівої сторони рівняння:

$\frac{\sin(3a)}{\sin(a)} - \frac{\cos(3a)}{\cos(a)}$

Застосуємо тотожність $\sin(3a)$ і $\cos(3a)$:

$= \frac{3\sin(a) - 4\sin^3(a)}{\sin(a)} - \frac{4\cos^3(a) - 3\cos(a)}{\cos(a)}$

Розділимо обидві частини рівняння на $\sin(a)$ і $\cos(a)$ відповідно:

$= 3 - 4\sin^2(a) - \frac{4\cos^3(a)}{\cos(a)} + 3\cos(a)$

Тепер можемо застосувати тотожність $\sin^2(a) + \cos^2(a) = 1$:

$= 3 - 4(1 - \cos^2(a)) - 4\cos^2(a) + 3\cos(a)$

Розкриємо дужки і спростимо вираз:

$= 3 - 4 + 4\cos^2(a) - 4\cos^2(a) + 3\cos(a)$

Зараз залишилося просто скоротити деякі доданки:

$= -1 + 3\cos(a)$

Тепер ми бачимо, що ліва сторона рівняння дорівнює $-1 + 3\cos(a)$.

Права сторона рівняння - це число 2.

Отже, наше рівняння виглядає так:

$-1 + 3\cos(a) = 2$

Тепер можемо розв'язати його:

$3\cos(a) = 2 + 1$ $3\cos(a) = 3$

Тепер поділимо обидві сторони на 3:

$\cos(a) = 1$

Це є правильним виразом для правої сторони рівняння. Отже, ми успішно довели задану тотожність:

$\frac{\sin(3a)}{\sin(a)} - \frac{\cos(3a)}{\cos(a)} = 2$