Question

Знайти інтервали монотонності та точки екстремума функції y = 3x⁴+ 4x³ - 36x² + 10​

Answer 1

Решение в прикреплённом фото.

Answer 2

Для знаходження інтервалів монотонності та точок екстремума функції y = 3x⁴ + 4x³ - 36x² + 10, спершу знайдемо похідну цієї функції і розв'яжемо рівняння f'(x) = 0, а потім вивчимо знак похідної на інтервалах між коренями цього рівняння.

1. Знайдемо похідну f'(x): f(x) = 3x⁴ + 4x³ - 36x² + 10 f'(x) = d/dx (3x⁴ + 4x³ - 36x² + 10)

   Використовуючи правило степеневої похідної та похідну константи, отримаємо: f'(x) = 12x³ + 12x² - 72x

2. Розв'яжемо рівняння f'(x) = 0 для знаходження точок екстремума: 12x³ + 12x² - 72x = 0

   Розділимо це рівняння на 12: x³ + x² - 6x = 0

   Тепер розв'яжемо це рівняння: x(x² + x - 6) = 0

   Факторизуємо: x(x + 3)(x - 2) = 0

   Отже, x може дорівнювати 0, -3 або 2.

3. Тепер визначимо знак похідної на інтервалах між цими коренями:

   • Інтервал 1: x < -3 Виберемо значення x = -4 (за межами цього інтервалу) і підставимо його в похідну: f'(-4) = 12*(-4)³ + 12*(-4)² - 72*(-4) = -1536 < 0

   • Інтервал 2: -3 < x < 0 Виберемо значення x = -1 (всередині цього інтервалу) і підставимо його в похідну: f'(-1) = 12*(-1)³ + 12*(-1)² - 72*(-1) = -60 < 0

   • Інтервал 3: 0 < x < 2 Виберемо значення x = 1 (всередині цього інтервалу) і підставимо його в похідну: f'(1) = 121³ + 121² - 72*1 = 12 > 0

   • Інтервал 4: x > 2 Виберемо значення x = 3 (за межами цього інтервалу) і підставимо його в похідну: f'(3) = 123³ + 123² - 72*3 = 216 > 0

Тепер маємо інформацію про знак похідної на різних інтервалах:

• На інтервалах (-∞, -3) та (-3, 0) функція спадає (f'(x) < 0).
• На інтервалі (0, 2) функція зростає (f'(x) > 0).
• На інтервалі (2, ∞) функція також зростає (f'(x) > 0).

Тепер можемо визначити інтервали монотонності та точки екстремума:

• Функція спадає на інтервалах (-∞, -3) та (-3, 0).
• Функція зростає на інтервалах (0, 2) та (2, ∞).

Точки екстремума відповідають значенням x = -3 та x = 2. Тепер знайдемо значення функції f(x) в цих точках:

• Для x = -3: f(-3) = 3*(-3)⁴ + 4*(-3)³ - 36*(-3)² + 10 = -291.

• Для x = 2: f(2) = 32⁴ + 42³ - 36*2² + 10 = 50.

Таким чином, точки екстремума функції y = 3x⁴ + 4x³ - 36x² + 10:

• Мінімум функції: (-3, -291).
• Максимум функції: (2, 50).

Отже, інтервали монотонності та точки екстремума функції визначені.