Question

Даю 50 баллов! Задача ЛЕГКАЯ, просто я МАМОНТ. RU: Дано функцию y=x²-5x+1, найдите координаты точки графика функции, в которой касательная к этому графику образует с осью абсцисс угол 45°. UA: Дано функцію y=x²-5x+1, знайдіть координати точки графіка функції в якій дотична до цього графіка утворює з віссю абсцис кут 45°.

Answer 1

Решение.

Угловой коэффициент касательной равен значению производной функции в точке касания .

Производная функции   $\bf y=x^2-5x+1$  равна   $\bf y'=2x-5$  .

Пусть точка касания имеет координаты  $\bf (x_0;y_0)$  , тогда угловой коэффициент касательной равен  $\bf k=y'(x_0)=2x_0-5$   .

С другой стороны угловой коэффициент касательной равен тангенсу угла наклона касательной к положительному направлению оси ОХ. Поэтому  $\bf k=tg45^\circ =1$  .  

Составим уравнение    $\bf 2x_0-5=1\ \ \Rightarrow \ \ 2x_0=6\ \ ,\ \ x_0=3$   .

Найдём ординату точки касания.

$\bf y_0=y(x_0)=3^2-5\cdot 3+1=9-15+1=-5$  

Точка касания  $\bf M(\, 3\, ;-5\, )$  .  

P.S.  Зная координаты точки касания, можно составить уравнение касательной , оно имеет вид  у=х-8  .

Answer 2

Щоб знайти координати точки графіка функції, в якій дотична утворює кут 45° з віссю абсцис, нам потрібно знайти похідну функції та розв'язати рівняння для кута нахилу дотичної лінії.

1. Спочатку знайдемо похідну функції y = x² - 5x + 1:

y = x² - 5x + 1 y' = 2x - 5

2. Тепер знайдемо відомий кут 45° у радіанах та знайдемо відповідний нахил (похідну) дотичної лінії:

У радіанах 45° дорівнює π/4 радіан.

За властивостями тангенса:

tan(π/4) = 1

Отже, нахил дотичної лінії дорівнює 1.

3. Тепер ми можемо вирішити рівняння для знаходження точки, в якій дотична має нахил 1:

2x - 5 = 1

2x = 6

x = 3

4. Тепер ми знаємо x-координату точки, де дотична має нахил 1. Тепер знайдемо відповідну y-координату, підставивши x = 3 у початкову функцію:

y = x² - 5x + 1 y = (3)² - 5(3) + 1 y = 9 - 15 + 1 y = -5

Отже, координати точки на графіку функції, в якій дотична утворює кут 45° з віссю абсцис, дорівнюють (3, -5).