Question

Найти минимум функции: f(x)=x^4-2x^3+5

Answer 1

Ответ:

1,5

Объяснение:

$f(x)=x^{4}-2x^{3}+5;$

$f'(x)=(x^{4}-2x^{3}+5)'=(x^{4})'-(2x^{3})'+5'=4x^{3}-6x^{2};$

$4x^{3}-6x^{2}=0;$

$2x^{2}(2x-3)=0;$

$2x^{2}=0 \quad \vee \quad 2x-3=0;$

$x^{2}=0 \quad \vee \quad 2x=3;$

$x=0 \quad \vee \quad x=1,5;$

$x=-1 \Rightarrow f'(-1)=4 \cdot (-1)^{3}-6 \cdot (-1)^{2}=-4-6=-10 < 0;$

$x=1 \Rightarrow f'(1)=4 \cdot 1^{3}-6 \cdot 1^{2}=4-6=-2 < 0;$

$x=2 \Rightarrow 4 \cdot 2^{3}-6 \cdot 2^{2}=32-24=8 > 0;$

Знак производной меняется с минуса на плюс в точке x = 1,5 ⇒ эта точка является точкой минимума.

Answer 2

Чтобы найти минимум функции $f(x) = x^4 - 2x^3 + 5$, мы можем взять производную $f'(x)$ и приравнять её к нулю, чтобы найти точки, в которых производная равна нулю. Затем мы можем использовать тест на вторую производную, чтобы определить, является ли каждая из этих точек точкой минимума или максимума.

1. Найдем производную $f'(x)$:

$f(x) = x^4 - 2x^3 + 5$

$f'(x) = 4x^3 - 6x^2$

2. Приравняем $f'(x)$ к нулю и решим уравнение:

$4x^3 - 6x^2 = 0$

Факторизуем это уравнение:

$2x^2(2x - 3) = 0$

Теперь найдем значения $x$, при которых $f'(x) = 0$:

a) $2x^2 = 0$ Это дает $x = 0$.

b) $2x - 3 = 0$ Это дает $x = \frac{3}{2}$.

3. Теперь нам нужно проверить вторую производную $f''(x)$ в этих точках, чтобы определить, являются ли они точками минимума или максимума.

$f''(x) = 12x^2 - 12x$

a) Для $x = 0$:

$f''(0) = 12(0)^2 - 12(0) = 0$

b) Для $x = \frac{3}{2}$:

$f''\left(\frac{3}{2}\right) = 12\left(\frac{3}{2}\right)^2 - 12\left(\frac{3}{2}\right) = 27 - 18 = 9$

4. Теперь мы можем сделать вывод:

a) $x = 0$: $f''(0) = 0$, поэтому это точка перегиба, а не точка минимума или максимума.

b) $x = \frac{3}{2}$: $f''\left(\frac{3}{2}\right) = 9$, это положительное значение, поэтому это точка минимума.

Итак, минимум функции $f(x) = x^4 - 2x^3 + 5$ достигается при $x = \frac{3}{2}$, и его значение равно:

$f\left(\frac{3}{2}\right) = \left(\frac{3}{2}\right)^4 - 2\left(\frac{3}{2}\right)^3 + 5$