Question

Спростіть вираз: а) сos α - сos a sin² aб) ctg²a - cos² a ctg² a;в) cos²a + tg² a cos²a г) 1/sin ² a - 1/ tg²a д) (sin a + cos a)² - 2sin a • cos a ​

Answer 1

Ответ:

решение смотри на фотографии

Answer 2

Давайте спростимо кожен з виразів по черзі:

а) cos α - cos α sin² α

Можемо факторизувати cos α:

cos α (1 - sin² α)

Знаючи, що 1 - sin² α = cos² α (тригонометричний тотожність), отримуємо:

cos α cos² α

б) ctg² a - cos² a ctg² a

Зафакторизуємо ctg² a:

ctg² a (1 - cos² a)

Знаючи, що 1 - cos² a = sin² a (тригонометричний тотожність), отримуємо:

ctg² a sin² a

в) cos² a + tg² a cos² a

Зафакторизуємо cos² a:

cos² a (1 + tg² a)

Можна використовувати тотожність 1 + tg² a = sec² a:

cos² a sec² a

г) 1/sin² a - 1/tg² a

Знаючи, що tg a = sin a / cos a, можемо замінити 1/tg² a на cos² a / sin² a:

1/sin² a - cos² a / sin² a

Тепер об'єднаємо дроби з однаковими знаменниками:

(1 - cos² a) / sin² a

Знову використовуємо тригонометричний тотожність 1 - cos² a = sin² a:

sin² a / sin² a

Це спрощується до 1.

д) (sin a + cos a)² - 2sin a • cos a

Розкриємо квадрат дуже подібно до формули квадрату суми:

(sin a + cos a)² = sin² a + 2sin a • cos a + cos² a

Тепер віднімемо 2sin a • cos a:

(sin a + cos a)² - 2sin a • cos a = sin² a + cos² a

Відомо, що sin² a + cos² a = 1 (основна тригонометрична тотожність):

1