Question

2. Знайдіть площу фігури, обмеженої: 1) графіком функції у=sin2x та прямими y=0, x=π/8 і x=3π/8​

Answer 1

Відповідь: фото

Пояснення:

Answer 2

Для знаходження площі фігури, обмеженої графіком функції y = sin^2(x) та прямими y = 0, x = π/8 і x = 3π/8, спершу визначимо точки перетину цих кривих. Для цього ми вирішимо рівняння sin^2(x) = 0:

sin^2(x) = 0

З цього рівняння отримуємо два значення x, при яких sin^2(x) дорівнює нулю:

1. x = 0
2. x = π

Тепер ми можемо побудувати графік функції y = sin^2(x) та прямих y = 0, x = π/8 і x = 3π/8 на інтервалі від x = 0 до x = π:

1. Графік функції y = sin^2(x) - це пара більше нуля точок між x = 0 та x = π.

2. Пряма y = 0 - це вісь x.

3. Пряма x = π/8 - це вертикальна пряма, яка перетинає графік sin^2(x) при x = π/8.

4. Пряма x = 3π/8 - це інша вертикальна пряма, яка перетинає графік sin^2(x) при x = 3π/8.

Фігура, обмежена цими кривими, виглядає як два прямокутники та два сегменти кривої sin^2(x), як показано на малюнку.

markdownCopy code
  |                __________
  |               |          |
  |               |          |
  |               |          |
  |               |__________|
  |_______|________|__________|_____
         0    π/8     3π/8     π

Тепер можемо обчислити площу цієї фігури. Спочатку знайдемо площу прямокутників:

1. Площа першого прямокутника (зліва) = (π/8) * 1 = π/8.
2. Площа другого прямокутника (справа) = (3π/8 - π/8) * 1 = 2π/8 = π/4.

Тепер знайдемо площу сегментів кривої sin^2(x). Ми використаємо інтеграл для цього. Площа сегмента під графіком sin^2(x) від x = 0 до x = π/8 та від x = 3π/8 до x = π буде дорівнювати різниці між відповідними значеннями інтеграла sin^2(x):

1. Площа першого сегмента = ∫[0, π/8] sin^2(x) dx
2. Площа другого сегмента = ∫[3π/8, π] sin^2(x) dx

Для інтеграції використаємо відомий інтеграл:

∫sin^2(x) dx = (x - sin(2x)/2) + C, де C - константа інтеграції.

Тепер обчислимо ці інтеграли на відповідних інтервалах:

1. Площа першого сегмента = [(π/8) - sin(2π/8)/2] - [0 - sin(2*0)/2] = (π/8 - 0) - (0 - 0) = π/8.
2. Площа другого сегмента = [(π) - sin(2π)/2] - [(3π/8) - sin(2*3π/8)/2] = (π - 0) - (3π/8 - 0) = (8/8)π - (3/8)π = (5/8)π.

Тепер складемо всі ці площі разом:

Площа фігури = Площа першого прямокутника + Площа другого прямокутника + Площа першого сегмента + Площа другого сегмента Площа фігури = (π/8) + (π/4) + (π/8) + (5/8)π Площа фігури = (π/8 + π/8) + (π/4 + 5/8π) Площа фігури = (2/8)π + (8/8)π Площа фігури = (10/8)π Площа фігури = (5/4)π

Отже, площа фігури, обмеженої графіком функції y = sin^2(x) та прямими y = 0, x = π/8 і x = 3π/8, дорівнює (5/4)π.