Question

Знайдіть площу фігури обмеженої лініями y=1+x , y=0 , x=1 i x=4​

Answer 1

Відповідь: 21/2 од.кв ≈ 10.5 од.кв

Розв'язок до завдання на закріплених фотографіях.

Answer 2

Для знаходження площі фігури, обмеженої лініями $y = 1 + x$, $y = 0$, $x = 1$ і $x = 4$, нам потрібно знайти інтеграл площі під криволінійною областю між цими лініями.

Почнемо з того, що ми маємо дві функції $y = 1 + x$ і $y = 0$, які обмежують область знизу і зверху відповідно. Візуалізуємо цю область:

1. Перше обмеження: $y = 1 + x$
2. Друге обмеження: $y = 0$
3. Третє обмеження: $x = 1$
4. Четверте обмеження: $x = 4$

Побудуємо графік цих ліній:

plaintextCopy code
  |
  |       /|
  |      / |
  |     /  |
  |    /   |
  |   /    |
  |  /     |
  | /      |
  |/_______|
  1       4

Зараз нам потрібно знайти інтеграл від $y = 1 + x$ до $y = 0$ від $x = 1$ до $x = 4$.

Площа області може бути знайдена інтегруванням від $x = 1$ до $x = 4$ різниці двох функцій: $1 + x$ (верхнє обмеження) і 0 (нижнє обмеження). Отже, площа $A$ буде такою:

$A = \int_{1}^{4} (1 + x - 0) \, dx$

Тепер обчислимо цей інтеграл:

$A = \int_{1}^{4} (1 + x) \, dx = \left[\frac{1}{2}x^2 + x\right]_{1}^{4} = \left[\frac{1}{2}(4^2) + 4\right] - \left[\frac{1}{2}(1^2) + 1\right] = \left[8 + 4\right] - \left[\frac{1}{2} + 1\right] = 12 - \frac{3}{2} = \frac{21}{2}$

Отже, площа фігури, обмеженої цими лініями, дорівнює $A = \frac{21}{2}$ квадратними одиницями.