Question

Для функції f(x) знайти первісну, графік якої проходить через задану точку М: f(x) = x²(x-1),M(0; 1);

Answer 1

Смотри...................

Answer 2

Щоб знайти первісну функції $f(x)$, яка проходить через задану точку $M(0,1)$, спершу знайдемо первісну функції $f(x) = x^2(x-1)$.

Почнемо з розкладу $f(x)$ на множники:

$f(x) = x^2(x - 1)$

Тепер знайдемо первісну цієї функції, використовуючи інтегрування. Запишемо кожен множник окремо:

$f(x) = x^2 \cdot (x - 1)$

Розглянемо перший множник $x^2$. Щоб знайти первісну $F_1(x)$ цього множника, додамо до ступеня $x$ одиницю і поділимо на новий степінь:

$F_1(x) = \frac{x^3}{3} + C_1$

Тепер розглянемо другий множник $(x - 1)$. Щоб знайти первісну $F_2(x)$ цього множника, додамо до $x$ одиницю і помножимо на обернену величину нового значення:

$F_2(x) = \int (x - 1) dx = \frac{x^2}{2} - x + C_2$

Тепер об'єднаємо обидві частини разом:

$F(x) = F_1(x) \cdot F_2(x) = \left(\frac{x^3}{3} + C_1\right) \cdot \left(\frac{x^2}{2} - x + C_2\right)$

Зараз нам потрібно знайти константи $C_1$ і $C_2$, використовуючи задану точку $M(0,1)$. Підставимо значення $x = 0$ і $y = 1$ у вираз для $F(x)$:

$1 = \left(\frac{0^3}{3} + C_1\right) \cdot \left(\frac{0^2}{2} - 0 + C_2\right) = C_1 \cdot C_2$

Оскільки $C_1$ і $C_2$ - це константи, які множаться між собою і дорівнюють 1, то можна вибрати, наприклад, $C_1 = 1$ і $C_2 = 1$.

Отже, первісна функції $f(x) = x^2(x - 1)$, яка проходить через точку $M(0,1)$, має вигляд:

$F(x) = \left(\frac{x^3}{3} + 1\right) \cdot \left(\frac{x^2}{2} - x + 1\right)$