Question

Розв’яжіть нерівність -x² + 4x +5>0; 2x² - 8x< 0

Answer 1

Объяснение:

-x²+4x+5>0

y= -x²+4x+5

-x²+4x+5=0

x²-4x-5=0

D=(-4)²-4•1•(-5)=16+20=36

x1=(4-6)/2= -1

x2=(4+6)/2=5

- + -

——o———o——

-1 5

y(1)= -1²+4•1+5= -1+4+5=8

x∈(-1;5)

2.

2x²-8x<0

y=2x-8x

2x-8x=0

2x(x-4)=0

2x=0 x-4=0

x=0 x=4

+ - +

——o————o——

0 4

y(2)=2•2-8•2=4-16= -12

x∈(0;4)

Answer 2

Давайте розв'яжемо ці нерівності окремо.

1. Нерівність -x² + 4x + 5 > 0:

Спочатку перетворимо цю нерівність у квадратичний рівняння і знайдемо його корені:

-x² + 4x + 5 = 0

Для знаходження коренів можна використовувати квадратне рівняння:

D = b² - 4ac, a = -1, b = 4, c = 5.

D = 4² - 4(-1)(5) = 16 + 20 = 36.

D > 0, тому у нас є два корені:

x₁ = (-b + √D) / (2a) = (-4 + √36) / (-2) = (-4 + 6) / (-2) = 2 / (-2) = -1.

x₂ = (-b - √D) / (2a) = (-4 - √36) / (-2) = (-4 - 6) / (-2) = -10 / (-2) = 5.

Отже, ми маємо два корені: x₁ = -1 і x₂ = 5.

Тепер, розділимо числову пряму на три інтервали, використовуючи ці корені: (-безкінечність, -1), (-1, 5), (5, +безкінечність). Далі, визначимо знак виразу -x² + 4x + 5 на кожному інтервалі.

1.1. Для інтервалу (-безкінечність, -1):

При x < -1, -x² + 4x + 5 буде негативним, оскільки ми маємо від'ємний коефіцієнт перед x². Тобто, -x² + 4x + 5 < 0 на цьому інтервалі.

1.2. Для інтервалу (-1, 5):

При -1 < x < 5, -x² + 4x + 5 буде позитивним, оскільки ми маємо від'ємний коефіцієнт перед x², але позитивний коефіцієнт перед x. Тобто, -x² + 4x + 5 > 0 на цьому інтервалі.

1.3. Для інтервалу (5, +безкінечність):

При x > 5, -x² + 4x + 5 знову стає негативним, оскільки ми маємо від'ємний коефіцієнт перед x². Тобто, -x² + 4x + 5 < 0 на цьому інтервалі.

Тепер перейдемо до другої нерівності.

2. Нерівність 2x² - 8x < 0:

Спростимо її:

2x² - 8x < 0

Факторизуємо спільний множник:

2x(x - 4) < 0

Зараз, визначимо знак цього виразу на числовій прямій.

2.1. Для інтервалу (-безкінечність, 0):

При x < 0, обидва множники (2x) і (x - 4) негативні, тому їхній добуток буде позитивним: 2x² - 8x < 0.

2.2. Для інтервалу (0, 4):

При 0 < x < 4, перший множник (2x) позитивний, а другий множник (x - 4) негативний, тому їхній добуток буде негативним: 2x² - 8x < 0.

2.3. Для інтервалу (4, +безкінечність):

При x > 4, обидва множники (2x) і (x - 4) позитивні, тому їхній добуток буде знову позитивним: 2x² - 8x < 0.

Отже, ми маємо такі рішення для обох нерівностей:

1. Для -x² + 4x + 5 > 0: рішення це (-безкінечність, -1) об'єднане з (5, +безкінечність).

2. Для 2x² - 8x < 0: рішення це (0, 4).

Залишилося об'єднати ці інтервали, щоб отримати остаточний результат:

(-безкінечність, -1) об'єднане з (0, 4) об'єднане з (5, +безкінечність).

Отже, розв'язок об'єднаної системи нерівностей -x² + 4x + 5 > 0 та 2x² - 8x < 0 це:

x належить (-безкінечність, -1) об'єднане з (0, 4) об'єднане з (5, +безкінечність).