Question

Доказать неравенство y²+1≥(3y-4)*2​

Answer 1

Формула квадрата суммы и разности:

$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$

Рассмотрим неравенство:

$y^2+1\geqslant (3y-4)\cdot2$

Раскроем скобки в правой части:

$y^2+1\geqslant 3y\cdot2-4\cdot2$

$y^2+1\geqslant 6y-8$

Слагаемые из правой части перенесем в левую част со сменой знака:

$y^2+1-6y+8\geqslant 0$

В левой части приведем подобные:

$y^2-6y+9\geqslant 0$

В этой же части воспользуемся формулой квадрата суммы:

$y^2-2\cdot y\cdot3+3^2\geqslant 0$

$(y-3)^2\geqslant 0$

Квадрат любого выражения принимает только неотрицательные значения. Значит, выражение, записанное в левой части, неотрицательно. Доказано.

Answer 2

Для доказательства данного неравенства, давайте выполним следующие шаги:

1. Раскроем скобки в правой части неравенства:

   y² + 1 ≥ 6y - 8

2. Переносим все члены на одну сторону неравенства, чтобы получить стандартную квадратичную форму:

   y² - 6y + 1 + 8 ≥ 0

3. Приведем подобные члены:

   y² - 6y + 9 ≥ 0

4. Заметим, что левая часть неравенства представляет собой квадратное уравнение (y - 3)². Мы можем переписать его в таком виде:

   (y - 3)² ≥ 0

5. Теперь становится очевидным, что данное уравнение верно для всех значений y, так как квадрат любого числа всегда неотрицателен.

Таким образом, неравенство y² + 1 ≥ (3y - 4) * 2 выполняется для любых значений y.