Question

Cos ( x + π/4) = 1 б) 2cos2x-cosx=0 в) sin2x-cos2x= - 0,5 г ) sin22x-sin2x=0,5 .У відповідь записати кількість коренів на проміжку [0;2π]. д) cosx=−8 е) sin(2x + π/4) = 0

Answer 1

а) cos(x + π/4) = 1

За формулою зсуву аргументу тригонометричної функції, маємо:

cos(x + π/4) = cos x cos(π/4) - sin x sin(π/4) = 1/√2 cos x - 1/√2 sin x

Отже, отримуємо рівняння:

1/√2 cos x - 1/√2 sin x = 1

Домножимо обидві частини на √2:

cos x - sin x = √2

Застосуємо формулу для sin(α-β):

sin(π/4) = sin(x + π/4 - x) = sin(x + π/4) cos x - cos(x + π/4) sin x

1/√2 = sin(x + π/4) cos x - cos(x + π/4) sin x

Підставимо cos(x + π/4) = 1/√2 та sin(x + π/4) = 1/√2:

1/√2 = 1/2 cos x - 1/2 sin x

cos x - sin x = 1

Отже, рівняння має розв'язок.

б) 2cos^2x - cosx = 0

Факторизуємо вираз:

cos x (2 cos x - 1) = 0

Отже, маємо два розв'язки: cos x = 0 та cos x = 1/2.

в) sin2x - cos2x = -0.5

Замінимо sin2x на 2sin x cos x та cos2x на 1 - sin^2x:

2sin x cos x - (1 - sin^2x) = -0.5

2sin x cos x + sin^2x - 1/2 = 0

Застосуємо формулу для sin2x:

2sin x (1 - sin^2x) + sin^2x - 1/2 = 0

2sin x - 2sin^3x + sin^2x - 1/2 = 0

Перенесемо все до одного боку та скористаємося рівнянням 1 - cos^2x = sin^2x:

2sin x - 2sin^3x + (1 - cos^2x) - 1/2 = 0

2sin x - 2sin^3x + cos^2x - 1/2 = 0

2sin x (1 - sin^2x) + (1 - 2sin^2x) - 1/2 = 0

-2sin^3x + 2sin^2x + 2sin x - 1/2 = 0

Перенесемо все до одного боку та замінимо sin^2x на 1 - cos^2x:

-2cos^3x + 2cos^2x + 2cos x - 1/2 = 0

Answer 2

Давайте розглянемо кожне з рівнянь окремо та знайдемо кількість коренів на проміжку [0; 2π].

а) cos(x + π/4) = 1 Це рівняння має один корінь на проміжку [0; 2π], оскільки косинус ніколи не перевищує 1.

б) 2cos^2(x) - cos(x) = 0 Факторизуємо рівняння: cos(x)(2cos(x) - 1) = 0

З цього рівняння маємо два корені: cos(x) = 0 і 2cos(x) - 1 = 0.

Для cos(x) = 0, ми маємо корені при x = π/2 та x = 3π/2.

Для 2cos(x) - 1 = 0, ми маємо корінь при x = π/3.

Всього отримали три корені на проміжку [0; 2π].

в) sin(2x) - cos(2x) = -0.5 Перепишемо це рівняння: sin(2x) + 0.5 = cos(2x)

Ми не можемо точно знайти корені цього рівняння, але ми можемо визначити кількість коренів на проміжку [0; 2π]. Це залежить від того, скільки разів функція sin(2x) перетинає функцію cos(2x) на цьому проміжку.

д) cos(x) = -8 Це рівняння не має жодного кореня на проміжку [0; 2π], оскільки косинус завжди знаходиться в межах від -1 до 1.

е) sin(2x + π/4) = 0 Це рівняння має безліч коренів, оскільки sin(2x + π/4) = 0 означає, що 2x + π/4 може бути довільним додатнім кратним числу π. Таким чином, кількість коренів нескінченно велика на проміжку [0; 2π].