Question

Знайдіть найменший додатний корінь рівняння: cos3x + sin2x - sin4x = 0

Answer 1

ооооарюаоаожаожаоюаоюаоюаоюаоюаюоаапоплплплмл

Answer 2

Давайте розглянемо рівняння cos(3x) + sin(2x) - sin(4x) = 0 та спробуємо знайти його найменший додатний корінь.

1. Застосуємо тригонометричні ідентичності для спрощення рівняння:

cos(3x) + sin(2x) - sin(4x) = 0

За допомогою ідентичності sin(2x) = 2sin(x)cos(x) і sin(4x) = 2sin(2x)cos(2x), можемо переписати рівняння так:

cos(3x) + 2sin(x)cos(x) - 2sin(2x)cos(2x) = 0

2. Тепер можемо факторизувати це рівняння, виділивши sin(x)cos(x):

cos(3x) + 2sin(x)cos(x) - 2sin(2x)cos(2x) = 0

cos(3x) + 2sin(x)cos(x) - 2sin(x)cos(x)cos(2x) = 0

cos(3x) + 2sin(x)cos(x)(1 - cos(2x)) = 0

3. Зараз ми можемо розділити обидві сторони на sin(x)cos(x) (якщо sin(x)cos(x) не дорівнює нулю):

cos(3x)/(sin(x)cos(x)) + 2(1 - cos(2x)) = 0

cot(3x) + 2(1 - cos(2x)) = 0

4. Знайдемо значення котангенсу і косинусу для кута 2x:

cot(3x) = 1/tan(3x) = 1/[(3tan(x) - tan^3(x))/(1 - 3tan^2(x))] = (1 - 3tan^2(x))/(3tan(x) - tan^3(x))

cos(2x) = 2cos^2(x) - 1 = 2(1 - sin^2(x)) - 1 = 2 - 2sin^2(x) - 1 = 1 - 2sin^2(x)

5. Підставимо ці значення у рівняння:

(1 - 3tan^2(x))/(3tan(x) - tan^3(x)) + 2(1 - (1 - 2sin^2(x))) = 0

(1 - 3tan^2(x))/(3tan(x) - tan^3(x)) + 2(2sin^2(x)) = 0

6. Поділимо обидві сторони на 2 та спростимо:

(1 - 3tan^2(x))/(3tan(x) - tan^3(x)) + 2sin^2(x) = 0

(1 - 3tan^2(x))/(tan(x)(3 - tan^2(x))) + 2sin^2(x) = 0

7. Далі, ми можемо поміняти tan(x) на t, і тоді маємо:

(1 - 3t^2)/(t(3 - t^2)) + 2(1 - t^2) = 0

8. Знайдемо спільний знаменник і скоротимо:

(1 - 3t^2) + 2t(1 - t^2)(3 - t^2) = 0

9. Розв'яжемо це рівняння для t:

1 - 3t^2 + 6t(1 - t^2) - 2t^3(3 - t^2) = 0

1 - 3t^2 + 6t - 6t^3 - 6t^4 + 2t^5 = 0

2t^5 - 6t^4 - 3t^2 + 6t + 1 = 0

10. Можемо використовувати чисельні методи, наприклад, метод Ньютона, щоб знайти корінь цього рівняння, який буде найменшим додатнім коренем. Але цей процес доволі складний і вимагає чисельних обчислень.

Загально, найменший додатній корінь цього рівняння може бути знайдений чисельним методом, таким як метод Ньютона або метод делегування.