Question

100 балів, допоможіть,будь ласка задано функцію f ( x ). З'ясуйте зростає чи спадає функція на заданих інтервалах. 1)f(x)=x²-2x,(0,1);(3;4); 2)f(x)=-x²+x-1,(-1;0);(1;3).​

Answer 1

Ответ:

берем производную функции и смотрим ее знак на этих интервалах

1)

f(x) = x² - 2x

f'(x) = 2x - 2

(0,1): f'(x)<0                  =>       f(x) убывает на этом интервале.

(3,4): f'(x)>0                 =>       f(x) возрастает на этом интервале.

2)

f(x) = -x² + x - 1

f'(x) = -2x + 1

(-1,0): f'(x)>0                =>        f(x) возрастает на этом интервале.

(1,3): f'(x)<0                 =>        f(x) убывает на этом интервале.

можно еще одним способом. это парабола. ветви у первой вверх (а=1), у второй вниз (a=-1)

Затем найти вершину параболы по формуле x=b/2a - узнали точку перегиба и дальше все легко и никаких производных

Answer 2

Для визначення того, чи зростає чи спадає функція на заданих інтервалах, ми можемо взяти похідну функції та дослідити її знак на цих інтервалах. Якщо похідна додатня на інтервалі, то функція зростає на цьому інтервалі, якщо від'ємна - то функція спадає.

1. f(x) = x² - 2x Похідна функції: f'(x) = 2x - 2

   Тепер дослідимо знак похідної на інтервалах:

   • Для інтервалу (0, 1): Підставимо x = 0: f'(0) = 20 - 2 = -2 Підставимо x = 1: f'(1) = 21 - 2 = 0 Знак похідної змінюється з від'ємного на нуль, тобто функція зростає на цьому інтервалі.

   • Для інтервалу (3, 4): Підставимо x = 3: f'(3) = 23 - 2 = 4 Підставимо x = 4: f'(4) = 24 - 2 = 6 Знак похідної змінюється з додатнього на додатнє, тобто функція також зростає на цьому інтервалі.

Отже, функція f(x) = x² - 2x зростає на обох інтервалах (0, 1) і (3, 4).

2. f(x) = -x² + x - 1 Похідна функції: f'(x) = -2x + 1

   Тепер дослідимо знак похідної на інтервалах:

   • Для інтервалу (-1, 0): Підставимо x = -1: f'(-1) = -2*(-1) + 1 = 3 Підставимо x = 0: f'(0) = -2*0 + 1 = 1 Знак похідної змінюється з додатнього на додатнє, тобто функція зростає на цьому інтервалі.

   • Для інтервалу (1, 3): Підставимо x = 1: f'(1) = -21 + 1 = -1 Підставимо x = 3: f'(3) = -23 + 1 = -5 Знак похідної змінюється з від'ємного на від'ємне, тобто функція також зростає на цьому інтервалі.

Отже, функція f(x) = -x² + x - 1 також зростає на обох інтервалах (-1, 0) і (1, 3).