Question

Кожне з 20 тестових завдань мае 5 варіантів відповідей. Абітурієнт від повідає на тестові запитання навмання. Яка ймовірність того, що він надасть рівно 8 правильних відповідей,​

Answer 1

Ответ:

Кожен тест має 5 варіантів відповідей, тому ймовірність правильної відповіді на кожне запитання дорівнює 1/5.

Щоб обчислити потрібну ймовірність, ми можемо скористатись формулою Бернуллі, яка показує ймовірність успіху у послідовності незалежних подій:

P(k) = (n choose k) * p^k * (1-p)^(n-k),

де P(k) - ймовірність отримати k успіхів у n незалежних подіях з ймовірністю успіху p, (n choose k) - кількість комбінацій з n елементів по k, p - ймовірність успіху у кожній події.

Із відомої інформації, n = 20 - кількість тестових завдань, k = 8 - кількість правильних відповідей, p = 1/5 - ймовірність правильно відповісти на кожне запитання.

P(8) = (20 choose 8) * (1/5)^8 * (4/5)^12 ≈ 0.0748.

Отже, ймовірність отримати рівно 8 правильних відповідей дорівнює близько 0.0748. Таким чином, можна очікувати, що близько 7.48% абітурієнтів отримають рівно 8 балів.

Объяснение:

Answer 2

Для вирішення цього завдання можна скористатися формулою біноміального розподілу, оскільки ми маємо дві можливі події (правильна або неправильна відповідь) і бажаний результат (8 правильних відповідей) в одному з 20 тестових завдань.

Ймовірність правильної відповіді в будь-якому конкретному тестовому завданні - 1/5, оскільки є 5 варіантів відповідей, і абитуриент вибирає один з них.

Ймовірність неправильної відповіді в будь-якому конкретному тестовому завданні - 4/5, оскільки є 4 неправильні варіанти відповіді.

Тепер ми можемо використовувати формулу біноміального розподілу для обчислення ймовірності, що абітурієнт надасть рівно 8 правильних відповідей з 20 спроб:

P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1 - p)^(n - k),

де:

• n - кількість спроб (20 тестових завдань),
• k - кількість успішних результатів (8 правильних відповідей),
• p - ймовірність успіху (ймовірність правильної відповіді в одному тестовому завданні, тобто 1/5),
• (1 - p) - ймовірність невдачі (ймовірність неправильної відповіді в одному тестовому завданні, тобто 4/5).

Підставимо ці значення у формулу:

P(X = 8) = C(20, 8) * (1/5)^8 * (4/5)^(20 - 8).

Спершу обчислимо кількість способів обрати 8 правильних відповідей з 20 тестових завдань:

C(20, 8) = 20! / (8! * (20 - 8)!) = 125,970.

Тепер підставимо значення у формулу і обчислимо ймовірність:

P(X = 8) = 125,970 * (1/5)^8 * (4/5)^(20 - 8) ≈ 0.1209.

Отже, ймовірність того, що абітурієнт надасть рівно 8 правильних відповідей з 20 тестових завдань, приблизно дорівнює 0.1209 або 12.09%.