Question

При якому значенні в значення виразів 3b+1 ; 4b-1 ; b^2 + b ; b^2 + b + 1 будуть послідовними членами арифметичної прогресії, знайдіть члени цієї прогресії.

Answer 1

$\displaystyle\bf\\a_{1} =3b+1\\\\a_{2} =4b-1\\\\a_{3} =b^{2} +b\\\\a_{4} =b^{2} +b+1\\\\\\d=a_{2} - a_{1} =4b-1-(3b+1)=4b-1-3b-1=b-2\\\\a_{4} =a_{3} +d\\\\b^{2} +b+1=b^{2}+b+b-2\\\\b^{2} +b-b^{2}-2b=-2-1\\\\-b=-3\\\\\boxed{b=3}\\\\\\a_{1} =3b+1=3\cdot 3+1=9+1=10\\\\a_{2} =4b-1=4\cdot 3-1=12-1=11\\\\a_{3} =b^{2} +b=3^{2}+3=9+3=12 \\\\a_{4} =b^{2} +b+1=3^{2} +3+1=9+3+1=13\\\\Otvet \ : \ 10 \ ; \ 11 \ ; \ 12 \ ; \ 13$

Answer 2

Для того, щоб вирази 3b + 1, 4b - 1, b^2 + b і b^2 + b + 1 були послідовними членами арифметичної прогресії, різниця між будь-якими двома сусідніми членами повинна бути постійною. Тобто, ми можемо записати рівняння:

(4b - 1) - (3b + 1) = (b^2 + b + 1) - (b^2 + b)

Спростимо обидві сторони рівняння:

4b - 1 - 3b - 1 = b^2 + b + 1 - b^2 - b

(b - 2) = (b - 1)

Тепер ми бачимо, що різниця між будь-якими двома сусідніми членами вже є постійною і дорівнює 1.

Отже, якщо ви виберете будь-яке значення для b, то вирази 3b + 1, 4b - 1, b^2 + b і b^2 + b + 1 будуть послідовними членами арифметичної прогресії з різницею 1. Наприклад, якщо ви виберете b = 1, то члени прогресії будуть:

3(1) + 1 = 4 4(1) - 1 = 3 1^2 + 1 = 2 1^2 + 1 + 1 = 3

Отже, числа 4, 3, 2 і 3 є послідовними членами арифметичної прогресії з різницею 1.