Question

Решить тригонометрические уровнения2sin^2x= cos x+1​СРОЧНО

Answer 1

Ответ:

Рішення завдання на фото

Объяснение:

Answer 2

Давайте решим уравнение $2\sin^2x = \cos x + 1$.

Заметим, что $\sin^2x = 1 - \cos^2x$ (это следует из тригонометрической тождества $\sin^2x + \cos^2x = 1$), таким образом уравнение принимает вид:

$2(1 - \cos^2x) = \cos x + 1$

Упростим:

$2 - 2\cos^2x = \cos x + 1$

Переносим все члены влево:

$2\cos^2x + \cos x - 1 = 0$

Теперь заметим, что это уравнение квадратное относительно $\cos x$. Пусть $t = \cos x$, тогда:

$2t^2 + t - 1 = 0$

Это квадратное уравнение можно решить, используя методы решения квадратных уравнений, либо используя дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 1 - 4(2)(-1) = 9$

Так как $D > 0$, у нас есть два действительных корня:

$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm 3}{4}$

Таким образом, у нас есть два значения $t$:

$t_1 = 1, \quad t_2 = -\frac{1}{2}$

Теперь вспоминаем, что $t = \cos x$.

1. Когда $t = 1$, $\cos x = 1$. Это имеет место, когда $x = 0 + 2\pi n$, где $n$ - любое целое число.

2. Когда $t = -\frac{1}{2}$, $\cos x = -\frac{1}{2}$. Это имеет место, когда $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$ и $x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi n$, где $n$ - любое целое число.

Итак, уравнение $2\sin^2x = \cos x + 1$ имеет бесконечно много решений:

$x = 0 + 2\pi n, \quad x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \quad x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi n$

где $n$ - любое целое число.