Question

Розв’язування задач складанням систем рівнянь 1. ( 3 бали) За 7 кг апельсинів і 4 кг лимонів заплатили 350 грн. Знайдіть вартість 1 кг апельсинів і 1 кг лимонів, якщо 5 кг апельсинів на 80 грн дорожче 2 кг лимонів. 2. (4 бали) За 4 год руху за течією річки і 3 год по озеру катер пройшов 148 км. Знайдіть власну швидкість катера, якщо за 5 год руху проти течії річки він проходить на 50 км більше, ніж за 2 год по озеру. 3. ( 5 балів) Скільки грамів 3% і скільки грамів 8% розчинів солі треба взяти, щоб отримати 260 г 5% розчину? При перевірці враховується: 1. Пояснення щодо вибору змінних 2. Правильно складена система рівнянь 3. Правильне і повне розв’язання систем рівнянь 4. Наявність відповіді ДО ЗАДАЧІ.

Answer 1

1. Позначимо вартість 1 кг апельсинів через а, а 1 кг лимонів - через л.

Тоді за умовою маємо систему рівнянь:

7а + 4л = 350 (1)

5а - 2л = 80 (2)

Розв'язуючи цю систему методом спільних множників, маємо:

5(7а + 4л = 350) = 35а + 20л = 1750 (1')

2(5а - 2л = 80) = 10а - 4л = 160 (2')

Потім складаємо систему з двох рівнянь:

35а + 20л = 1750

10а - 4л = 160

Множимо друге рівняння на 5 і додаємо до першого:

35а + 20л + 50а - 20л = 1950

85а = 1950

а = 23

Підставляємо отримане значення а у будь-яке з двох рівнянь системи (1 або 2), щоб знайти l:

5 * 23 - 2l = 80

l = 57.5

Отже, вартість 1 кг апельсинів - 23 грн, вартість 1 кг лимонів - 57.5 грн.

2. Позначимо шукану власну швидкість катера через v, а швидкість течії річки - через u.

Тоді за умовою маємо систему рівнянь:

4(v + u) + 3v = 148 (1)

5(v - u) = 50 (2)

Розв'язуємо цю систему, спочатку перетворивши друге рівняння:

5v - 5u = 50

v - u = 10

v = u + 10

Підставляємо це значення у перше рівняння:

4(2u + 10) + 3(u + 10) = 148

11u + 52 = 37

u = -1.5

Отже, швидкість течії річки - 1.5 км/год, а швидкість катера - 8.5 км/год.

3. 1. Введемо змінні x та y для позначення кількості грамів 3% і 8% розчинів відповідно, які потрібно взяти.

2. Складаємо систему рівнянь за умовою задачі:

- Загальна кількість отриманого розчину становить 260 г: x + y = 260.

- Відсотковий склад розчину становить 5%: 0.03x + 0.08y = 0.05 * 260.

3. Розв’язуємо систему рівнянь за допомогою методу елімінації:

- Помножимо друге рівняння на 100, щоб позбутися дробів: 3x + 8y = 1300.

- Помножимо перше рівняння на 3 і віднімемо від другого, щоб отримати рівняння з однією змінною: 5y = 250, звідки y = 50.

- Підставимо y = 50 у перше рівняння і отримаємо x = 210.

4. Відповідь: потрібно взяти 210 г 3% розчину і 50 г 8% розчину, щоб отримати 260 г 5% розчину.

Answer 2

1. Позначимо вартість 1 кг апельсинів як "х" грн і вартість 1 кг лимонів як "у" грн.

За 7 кг апельсинів і 4 кг лимонів заплатили 350 грн, отже, маємо перше рівняння: 7x + 4y = 350

5 кг апельсинів на 80 грн дорожче 2 кг лимонів, тобто: 5x = 2y + 80

Тепер у нас є система двох рівнянь з двома невідомими: Система рівнянь:

1. 7x + 4y = 350
2. 5x - 2y = 80

Розв'яжемо цю систему рівнянь методом елімінації. Перше рівняння помножимо на 2, щоб отримати коефіцієнт -2y, як у другому рівнянні, і віднімемо друге рівняння від першого:

(2)(7x + 4y) - (5x - 2y) = 700 - 80 14x + 8y - 5x + 2y = 620 9x + 10y = 620

Тепер ми маємо нове рівняння: 3) 9x + 10y = 620

Тепер ми можемо вирішити цю систему рівнянь. Розглянемо рівняння 3) і перше рівняння 1) разом:

Спростимо рівняння 3) до вигляду, де одна зі змінних виражена через іншу: 9x + 10y = 620 9x = 620 - 10y x = (620 - 10y) / 9

Підставимо це значення x в перше рівняння 1): 7x + 4y = 350 7((620 - 10y) / 9) + 4y = 350

Розв'яжемо це рівняння для знаходження значення y:

7(620 - 10y) / 9 + 4y = 350 7(620 - 10y) + 36y = 3150 4340 - 70y + 36y = 3150 4340 - 34y = 3150 -34y = 3150 - 4340 -34y = -1190 y = -1190 / (-34) y = 35

Тепер, коли ми знайшли значення y, можемо підставити його в будь-яке з початкових рівнянь для знаходження x. Давайте використаємо друге початкове рівняння: 5x = 2y + 80 5x = 2(35) + 80 5x = 70 + 80 5x = 150 x = 150 / 5 x = 30

Отже, вартість 1 кг апельсинів - 30 грн, а вартість 1 кг лимонів - 35 грн.

2. Для знаходження власної швидкості катера, нам потрібно створити систему рівнянь. Позначимо швидкість катера у річці як "Vr" і швидкість течії річки як "Vc". Також позначимо швидкість катера у озері як "Vo".

За даними задачі, ми маємо два рівняння:

1. 4(Vr + Vc) = 148 (рух за течією річки)
2. 3(Vo) = 148 (рух по озеру)

Також задано, що за 5 год руху проти течії річки катер проходить на 50 км більше, ніж за 2 год по озеру. Отже, маємо ще одне рівняння:

3. 5(Vr - Vc) = 3(Vo) + 50 (рух проти течії річки)

Тепер маємо систему трьох рівнянь з трьома невідомими:

1. 4(Vr + Vc) = 148
2. 3(Vo) = 148
3. 5(Vr - Vc) = 3(Vo) + 50

Розв'яжемо цю систему рівнянь.

З рівняння 2) отримуємо значення Vo: 3(Vo) = 148 Vo = 148 / 3 Vo = 49.33 км/год (по озеру)

Тепер підставимо значення Vo в рівняння 1) і рівняння 3) для знаходження Vr і Vc.

З рівняння 1): 4(Vr + Vc) = 148 4(Vr + Vc) = 148 Vr + Vc = 148 / 4 Vr + Vc = 37

З рівняння 3): 5(Vr - Vc) = 3(Vo) + 50 5(Vr - Vc) = 3(49.33) + 50 5(Vr - Vc) = 148 +