Question

Знайдіть найбільше та найменше значення функції f(x) =x^2-8x/x+1.на проміжку [-5.-2]​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Для знаходження найбільшого та найменшого значення функції на даному проміжку потрібно взяти похідну функції, прирівняти її до нуля і знайти значення функції в кінцях проміжку та в точках, де похідна рівна нулю.

Обчислимо похідну функції:

f'(x) = [2x(x+1) - (x^2 - 8x)(1)] / (x+1)^2 = (2x^2 + 8x) / (x+1)^2 = 2x(x+4) / (x+1)^2

Тепер знайдемо точки, де похідна дорівнює нулю:

2x(x+4) / (x+1)^2 = 0

Звідси ми бачимо, що похідна дорівнює нулю в точках x=0 та x=-4.

Тепер знаходимо значення функції в кінцях проміжку та в знайдених точках:

f(-5) = (-5)^2 - 8(-5) / (-5+1) = 45/4 = 11.25

f(-2) = (-2)^2 - 8(-2) / (-2+1) = 18

f(0) = 0^2 - 8(0) / (0+1) = 0

f(-4) = (-4)^2 - 8(-4) / (-4+1) = 52/3 ≈ 17.33

Отже, найбільше значення функції на проміжку [-5,-2] дорівнює 18, а найменше значення функції - 11.25.

Answer 2

Для знаходження найбільшого та найменшого значення функції $f(x) = \frac{x^2 - 8x}{x + 1}$ на проміжку $[-5, -2]$, спершу знайдемо похідну функції та визначимо її точки екстремуму на цьому проміжку. Потім підставимо значення $x$ з цих точок в функцію $f(x)$, щоб знайти відповідні значення функції.

1. Знайдемо похідну $f'(x)$ функції $f(x)$:

   $f(x) = \frac{x^2 - 8x}{x + 1}$

   Використовуючи правило диференціювання частки функцій, ми отримуємо:

   $f'(x) = \frac{(x + 1)(2x - 8) - (x^2 - 8x)(1)}{(x + 1)^2}$

   Спростимо це вираз:

   $f'(x) = \frac{2x^2 - 6x - 8}{(x + 1)^2}$

2. Тепер знайдемо точки, де похідна $f'(x)$ дорівнює нулю або не існує:

   $2x^2 - 6x - 8 = 0$

   Для розв'язання цього рівняння ми можемо використовувати квадратичну формулу:

   $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

   Де $a = 2$, $b = -6$, і $c = -8$.

   $x = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(2)(-8)}}{2(2)}$

   $x = \frac{6 \pm \sqrt{100}}{4}$

   $x = \frac{6 \pm 10}{4}$

   Маємо два корені:

   $x_1 = \frac{16}{4} = 4$

   $x_2 = \frac{-4}{4} = -1$

   Отже, ми маємо дві точки, де похідна дорівнює нулю: $x_1 = 4$ та $x_2 = -1$.

3. Тепер підставимо ці точки в функцію $f(x)$, щоб знайти відповідні значення $y$:

   Для $x = 4$:

   $f(4) = \frac{4^2 - 8 \cdot 4}{4 + 1} = \frac{16 - 32}{5} = \frac{-16}{5}$

   Для $x = -1$:

   $f(-1) = \frac{(-1)^2 - 8 \cdot (-1)}{-1 + 1} = \frac{1 + 8}{0}$

   Вираз $f(-1)$ має нульовий знаменник, тому він не існує.

Таким чином, на проміжку $[-5, -2]$:

• Найменше значення функції $f(x)$ відсутнє (не існує через нульовий знаменник в $f(-1)$).
• Найбільше значення функції $f(x)$ дорівнює $\frac{-16}{5}$.